Du musst das Integral aufteilen in
$$ \int_0^1 x^\alpha \sin(x) dx $$ und berücksichtigen, dass für \( x \in [0;1] \) gilt \( |\sin(x) | \le 1 \)
und $$ \int_1^\infty x^\alpha \sin(x) dx $$
Das erste Integral kann man wie folgt abschätzen
$$ \left| \int_0^1 x^\alpha \sin(x) dx \right| \le \int_0^1 x^{\alpha+1} dx = \frac{ x^{\alpha+2}} {\alpha+2} \bigg|_0^1 $$
Das Integral konvergiert also nur für \( \alpha +2 > 0 \), also \( \alpha > -2 \)
Für das Zweite Integral wende das Kriterium von Dirichlet für uneigentliche Integrale an, s. hier https://pnp.mathematik.uni-stuttgart.de/iadm/Weidl/analysis2/vorlesung-ana2/node44.html
Dann folgt mit \( b(x) = \sin(x) \) und \( a(x) = x^\alpha \), dass das Integral konvergiert, aber nur wenn \( \alpha < 0 \) gilt. Ansonsten ist \( x^\alpha \) nicht monoton fallend. Und für \( \alpha = 0 \) konvergiert das zweite Integral nicht.
D.h. zusammengefasst, das Integral konvergiert für \( -2 < \alpha < 0 \)
