Aloha :)
zu i) Wir suchen zuerst eine Stammfunktion \(F(x)\) zu \(f(x)=\frac{x}{(1+x)^3}\)
$$F(x)=\int \underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{(1+x)^{-3}}_{=v'}\,dx=\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{(1+x)^{-2}}{-2}}_{=v}-\int \underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{\frac{(1+x)^{-2}}{-2}}_{=v}\,dx$$$$\phantom{F(x)}=-\frac{x}{2(1+x)^2}-\frac{(1+x)^{-1}}{(-2)\cdot(-1)}=-\frac{x}{2(1+x)^2}-\frac{1+x}{2(1+x)^2}=-\frac{2x+1}{2(1+x)^2}$$
Da setzen wir die Integrationsgrenzen ein. Für die obere Grenze bemühen wir die Regel von L'Hospital, denn Zähler und Nenner konvergieren für \(x\to\infty\) unabhängig voneinander gegen \(\infty\) sodass wir Zähler und Nenner unabhängig voneinander ableiten können, um den Grenzwert des Bruches zu ermitteln:$$F(\infty)=\lim\limits_{x\to\infty}\left(-\frac{2x+1}{2(1+x)^2}\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\left(-\frac{2}{4(1+x)}\right)=0$$Die untere Grenze ist einfacher:$$F(0)=-\frac{2\cdot0+1}{2(1+0)^2}=-\frac12$$Damit existiert das Integral und es gilt:$$\int\limits_0^\infty\frac{x}{(1+x)^3}\,dx=F(\infty)-F(0)=0-\left(-\frac12\right)=\frac12$$
zu ii) Hier kann man direkt eine Stammfunktion sehen:$$\int\limits_0^\infty\frac{1}{\sqrt x}\,dx=\int\limits_0^\infty x^{-\frac12}\,dx=\left[\frac{x^{\frac12}}{\frac12}\right]_0^\infty=\left[2\sqrt x\right]_0^\infty=\lim\limits_{x\to\infty}(2\sqrt x)-0\to\infty$$Dieses uneigentliche Integral konvergiert also nicht.
