Existenz von Integralen

Question

Zeigen Sie, dass das Integral

$$ \int _{ 0 }^{ \Pi /2 }{ \frac { dx }{ sin(x) }  } $$

nicht existiert.

Answer 1

Tipp: Betrachte es doch so:

$$ \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{1}{\sin(x)}dx=\lim_{a \nearrow 0}\int_a^\frac{\pi}{2}\frac{1}{\sin(x)}dx $$, denn x=0 ist hier der ''Troublemaker''. Auch wenn du die Stammfunktion davon gebildet hast, wirst du sehen, dass x=0 auch dort weiterhin Ärger machen wird.

Comments

Aber wie kann man daraus (nur mit Limes) sehen, dass da ein Problem geben würde?

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Ich betrachte es halt erstmal mit Limes, weil es viele Integranden gibt die an einer Stelle nicht definiert sind, aber ihre Stammfunktion schon. Deshalb geht man erstmal mit dem Limes dran. Dann bildet man die Stammfunktion und betrachtet dort denselben Limes. Falls der Limes dort eine ,,konkrete Zahl'' ausgibt, existiert das Integral und wenn er dort Unendlich wird, existiert es nicht.

Hier mal zwei Beispiele:

1.) Integral existiert hier!

$$ \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{cos(x)}{\sqrt{1-\sin(x)}}dx $$Hier ist der Integrand an der Stelle π/2 nicht definiert, da sonst durch Null geteilt wird. Also betrachte ich es nun als uneigentliches Integral, indem ich den Grenzwert betrachte. Also wie oben.

$$ \lim_{a \nearrow \frac{\pi}{2}} \int_0^a\frac{cos(x)}{\sqrt{1-\sin(x)}}dx\stackrel{(*)}{=}\lim_{a \nearrow \frac{\pi}{2}}\Big(-2\sqrt{1-\sin(a)}+2\Big)=0+2=2 $$

2.) Integral exisitiert nicht!

$$ \int_0^1\frac{x+1}{(x-1)(x+2)}dx=\lim_{a \searrow 1}\int_0^a\frac{x+1}{(x-1)(x+2)}dx\\[30pt]=\lim_{a \searrow 1}\Bigg[\dfrac{\ln\left(\left|x+2\right|\right)+2\ln\left(\left|x-1\right|\right)}{3}\Bigg]_0^a\\[30pt]=\lim_{a \searrow 1}\Bigg(\dfrac{\ln\left(\left|a+2\right|\right)+2\ln\left(\left|a-1\right|\right)}{3}-\dfrac{\ln\left(\left|0+2\right|\right)+2\ln\left(\left|0-1\right|\right)}{3} \Bigg)\\[30pt]=\lim_{a \searrow 1}\Bigg(\dfrac{\ln\left(\left|a+2\right|\right)+2\ln\left(\left|a-1\right|\right)}{3}-\dfrac{\ln(2)+2\ln(1)}{3} \Bigg)=-\infty $$Existiert also nicht!!!

Answer 2

es ist sin(x)≈x für x →0

Das Integral existiert somit nicht.

Answer 3

Mit Definition uneigentlicher Integrale ist \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin(x)}\text{d}x = \lim_{\alpha\searrow 0}\int_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin(x)}\text{d}x\text{.}\]

Nach meiner Formelsammlung ist für \(x\in \left]0, \pi\right[\) durch \(F(x) = \ln\left(\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right)\) eine Stammfunktion der durch \(f(x) = \frac{1}{\sin(x)}\) gegebenen Funktion gegeben. [Das kann man auch schnell durch Ableiten von \(F\) mit Kettenregel nachweisen.]

Damit erhält man für jedes \(\alpha\in\left]0, \frac{\pi}{2}\right]\): \[\begin{aligned}\int_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin(x)}\text{d}x &= \ln\left(\tan\left(\frac{\quad\frac{\pi}{2}\quad}{2}\right)\right)-\ln\left(\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \\ &= \ln\left(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)-\ln\left(\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \\& = \underbrace{\ln\left(1\right)}_{=0}-\ln\left(\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \\& = -\ln\left(\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)\end{aligned}\]

Demnach erhält man \[\lim_{\alpha\searrow 0}\int_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin(x)}\text{d}x = \lim_{\alpha\searrow 0}\underbrace{\left(-\underbrace{\ln\left(\underbrace{\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}_{\searrow 0}\right)}_{\to-\infty}\right)}_{\to \infty}=\infty\]

Das uneigentliche Integral \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin(x)}\text{d}x\] existiert demnach nicht, sondern divergiert gegen \(\infty\).

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Wenn man keine entsprechende Stammfunktion findet, kann man auch die für alle \(x\in\left[0, \infty\right[\) gültige Abschätzung \(\sin(x)\leq x\) verwenden.

Dann erhält man für alle \(\alpha\in\left]0, \frac{\pi}{2}\right]\): \[\int_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin(x)}\text{d}x\geq\int_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{x}\text{d}x = \left[\ln(x)\right]_{x=\alpha}^{x=\frac{\pi}{2}} = \ln(\frac{\pi}{2}) - \underbrace{\ln\left(\alpha\right)}_{\to -\infty}\xrightarrow{\alpha\searrow 0}\infty\]

Somit existiert nach Minorantenkriterium das uneigentliche Integral \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin(x)}\text{d}x\] nicht, sondern divergiert gegen \(\infty\).