Im Grunde führt man einen Gauß-Algorithmus teilweise durch: \[A = \begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix}\]
Zunächst möchte man an der Stelle \((2, 1)\) [d.h. am Eintrag in der 2-ten Zeile und 1-ten Spalte] eine \(0\) erzeugen. Dafür addiert man das \(-2\)-fache der ersten Zeile zur zweiten Zeile. Das bedeutet man multipliziert von links mit der Elementarmatrix \[S_{1} = E_{2, 1}\left(-2\right)= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\] und erhält \[S_1\cdot A=\begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 0 & -3 & -6 \\ 3 & 6 & 9\end{pmatrix}\text{.}\]
Als nächstes möchte man an der Stelle \((3, 1)\) [d.h. am Eintrag in der 3-ten Zeile und 1-ten Spalte] eine \(0\) erzeugen. Dafür addiert man das \(-3\)-fache der ersten Zeile zur dritten Zeile. Das bedeutet man multipliziert von links mit der Elementarmatrix \[S_{2} = E_{3, 1}\left(-3\right)= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1\end{pmatrix}\] und erhält \[S_2\cdot S_1\cdot A=\begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12\end{pmatrix}\text{.}\]
Schließlich möchte man an der Stelle \((3, 2)\) [d.h. am Eintrag in der 3-ten Zeile und 2-ten Spalte] eine \(0\) erzeugen. Dafür addiert man das \(-2\)-fache der zweiten Zeile zur dritten Zeile. Das bedeutet man multipliziert von links mit der Elementarmatrix \[S_{3} = E_{3, 2}\left(-2\right)= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1\end{pmatrix}\] und erhält \[S_3\cdot S_2\cdot S_1\cdot A=\begin{pmatrix}1 & 4 & 7 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\text{.}\]
Damit hat man nun entsprechende Elementarmatrizen \(S_1, S_2, S_3\) gefunden.
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Übrigens kannst du auch mal hier schauen:
https://mathelounge.de/32898/suche-elementarmatrizen-sodass-s3-s2-obere-dreiecksmatrix
Da hatte wohl jemand vor ziemlich genau 5 Jahren die gleiche Aufgabenstellung.
