Suche Elementarmatrizen, sodass S3*S2*S1*A=R, R obere Dreiecksmatrix…

Question

Definition. Sei \( A=\left(a_{i j}\right) \in M(n, n, K) . \) Die Matrix \( A \) heißt obere Dreiecksmatrix, falls \( a_{i j}=0 \) für alle Indizes mit \( i>j \) gilt. Die Matrix \( A \) heift untere Dreieksmatrix, falls \( a_{i j}=0 \) für alle Indizes mit \( i<j \) gilt.

Sei \( A=\left(\begin{array}{lll}{1} & {4} & {7} \\ {2} & {5} & {8} \\ {3} & {6} & {9}\end{array}\right) \in M(3,3, \mathbb{R}) \)

(a) Finden Sie Elementarmatrizen \( S_{1}, S_{2}, S_{3} \in M(3,3, \mathbb{R}) \) der Form \( E_{i j}(\alpha) \) mit \( i>j \) so dass \( S_{3} \cdot S_{2} \cdot S_{1} \cdot A=R \) eine obere Dreiecksmatrix ist.

(b) Finden Sie eine untere Dreiecksmatrix \( L \) und eine obere Dreicksmatrix \( R \) mit \( A=L \cdot R \)

Für Aufgabenteil (a) kann Behauptung 16.1.1(a) nützlich sein:

Behauptung 16.1.1
Sei \( A \in M(n, m, K) \)
(a) Sei \( E_{i j}(\alpha) \in M(n, n, K) \) mit \( i \neq j . \) Dann ist \( E_{i j}(\alpha) A \) wohldefiniert und
$$ \begin{array}{l} { \text { (die i-te Zeile von }\left.E_{i j}(\alpha) \cdot A\right)} \\ {=\text { (die i-te Zeile von } A)+\alpha \text { -(die } j \text { -te Zeile von } A)} \end{array} $$
Alle anderen Zeilen von \( A \) bleiben unverändert.

Comments

Eine Elementarmatrix ist hier wohl eine n*n-Matrix, die sich nur durch Änderung eines einzigen Eintrags oder Vertauschen durch zwei Zeilen in die Einheitsmatrix überführen lässt. Vgl.

https://de.wikipedia.org/wiki/Elementarmatrix

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Elementarmatrizen führen ja im Grunde Additionen wie im Gauss-Verfahren durch. D.h. man braucht hier das Gauss Verfahren nur mit Elementarmatrizen abbilden.

(a)

S1 = [1, 0, 0; -2, 1, 0; 0, 0, 1]
S2 = [1, 0, 0; 0, 1, 0; -3, 0, 1]
S3 = [1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, -2, 1]

Über (b) muss ich mal etwas genauer nachdenken, wie man dort am besten vorgeht.

Answer 1

(a)

S1 = [1, 0, 0; -2, 1, 0; 0, 0, 1]
S2 = [1, 0, 0; 0, 1, 0; -3, 0, 1]
S3 = [1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, -2, 1]

Siehe dazu auch mein obigen Kommentar.

(b)

Ich nenne das Produkt S3 * S2 * S1 einfach mal nur S

S = [1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, -2, 1]*[1, 0, 0; 0, 1, 0; -3, 0, 1]*[1, 0, 0; -2, 1, 0; 0, 0, 1]
S = [1, 0, 0; -2, 1, 0; 1, -2, 1]

R = S * A
R = [1, 0, 0; -2, 1, 0; 1, -2, 1]*[1, 4, 7; 2, 5, 8; 3, 6, 9]
R = [1, 4, 7; 0, -3, -6; 0, 0, 0]

Weil jetzt 

S * A = R
A = S^{-1} * R

gilt, können wir L aus S^{-1} errechnen.

L = S^{-1} = [1, 0, 0; 2, 1, 0; 3, 2, 1]

Comments

Wie hast du a) gemacht? Finde da keinen Ansatz für. Kannst du mir einen geben?

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Hab ich doch oben geschrieben

Elementarmatrizen führen ja im Grunde Additionen wie im Gauss-Verfahren durch. D.h. man braucht hier das Gauss Verfahren nur mit Elementarmatrizen abbilden.

D.h. führe mit der Matrix das Gauss Verfahren durch. Die Multiplikation mit einer Elementarmatrix nimmt dir eigentlich nur die Schritte des Gauss Verfahrens ab und sind dementsprechend auch aufzustellen.

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Ich hab auch die Elemenatrmatrizen verwendet um auf eine obere Dreiecksmatrix zu erhalten. Jedoch befindet sich bei mit bei EIntrag α₃₃ = 0. Zählt das nun trotzdem als obere Dreiecksmatrix??

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Ja. Wenn a33 = 0 ist müsste ja die Determinante deiner Matrix gleich 0 sein.

Wenn du unsicher bist solltest du das als neue Aufgabe komplett mit Aufgabentext als neue Frage stellen.