Stellen Sie die Matrix A:=((1,2,1)(1,0,3),(0,-2,2)) in der Form A=Bs*...*Ct dar

Question

Stellen Sie die Matrix \( A=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 2\end{array}\right) \) in der Form
\( A=B_{s} \cdot \ldots \cdot B_{2} \cdot B_{1} \cdot \mathbf{D} \cdot C_{1} \cdot C_{2} \cdot \ldots \cdot C_{t} \)
dar, wobei \( B_{1}, \ldots, B_{s}, C_{1}, \ldots, C_{t} \) Elementarmatrizen aus \( M(3,3, \mathbb{R}) \) sind und \( \mathrm{D} \) eine Diagonalmatrix aus \( M(3,3, \mathbb{R}) \) ist.

Answer 1

Es soll gelten:

A = B_s * ... * B₃ * B₂ * B₁ * D * C₁ * C₂ * C₃ * ... * C_t

Lösen wir das doch mal nach D auf.

B₁^{-1} * B₂^{-1} * B₃^{-1} * ... * B_s^{-1} * A * C_t^{-1} * ... * C₃^{-1} * C₂^{-1} * C₁^{-1} = D

Man kann sich jetzt also überlegen welche Elementaroperationen ich auf A anwenden muss um eine Diagonalmatrix zu bekommen. Daraus ergeben sich dann die Elementarmatrizen.

Diese Aufgabe ist ja ähnlich zu 

https://www.mathelounge.de/32898/suche-elementarmatrizen-sodass-s3-s1-obere-dreiecksmatrix

Daher kannst du dort zunächst auch mal nachsehen. Frag ruhig nach, wenn dir etwas unklar ist. Oder wenn du noch eine Lösungshilfe brauchst.

Comments

ich kann der umformung zwar folgen jedoch weiß ich dennoch nicht wie es weitergehen soll ... ich habe mir auch den link von dir angesehen und mein problem dabei ist auch : dass ich nicht weiß wie ich hierbei die elementarmatrix bilde obwohl ich verstanden habe was es sein soll also dass es eine n x n matrix ist und diese durch den tausch von 2 zeilen oder spalten die einheitsmatrix bilden auch was eine diagonalmatrix ist habe ich verstanden dass alles 0 ist bis auf die eine diagonale aber wie gesagt wirklich was anfangen kann ich damit nicht

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B₁^-1 * B₂^-1 * B₃^-1 * ... * B_s^-1 * A * C_t^-1 * ... * C₃^-1 * C₂^-1 * C₁^-1 = D

[1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, -1, 1]·[1, 0, 0; -1, 1, 0; 0, 0, 1]·[1, 2, 1; 1, 0, 3; 0, -2, 2]*[1, -2, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1]*[1, 0, -1; 0, 1, 0; 0, 0, 1]*[1, 0, 0; 0, 1, 1; 0, 0, 1] = [1, 0, 0; 0, -2, 0; 0, 0, 0]

Zugegeben in horizontaler Form sind die Matrizen nicht zu lesen. Es wäre also hilfreich wenn du dir ausgehend von A in der Mitte das mal selber berechnen würdest.

Und dann schrittweise, sodass du siehst was passiert, wenn du nach links bzw. rechts eine Matrix dazu nimmst.

Jetzt löse ich das nach A auf

A = B_s * ... * B₃ * B₂ * B₁ * D * C₁ * C₂ * C₃ * ... * C_t

[1, 2, 1; 1, 0, 3; 0, -2, 2] = [1, 0, 0; 1, 1, 0; 0, 0, 1]*[1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 1, 1]*[1, 0, 0; 0, -2, 0; 0, 0, 0]*[1, 0, 0; 0, 1, -1; 0, 0, 1]*[1, 0, 1; 0, 1, 0; 0, 0, 1]*[1, 2, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1]

Fertig. Wie gesagt wäre es absolut hilfreich, wenn du ausgehend von A Schritt für Schritt nachvollziehen würdest was durch die Multiplikationen passiert.

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jo vielen dank :D wenn man es dann macht ist es einem echt viel einleuchtender ^^ diese horizontalen matrizen sind echt ekelhaft zu lesen :D    aber wie gesagt vielen dank