Bestimmen Sie alle Lösungen des inhomogenen reellen Gleichungssystems: 3x3 + 6x4= -3; x1 + x2 + 2x3 = 1;…

Question

Bestimmen Sie alle Lösungen des inhomogenen reellen Gleichungssystems:

\( \left\{\begin{aligned} & 3 x_{3}+6 x_{4} &=-3 \\ x_{1}+x_{2}+2 x_{3} & &=1 \\ 2 x_{1}+2 x_{2}+x_{3} &-6 x_{4} &=& 5 \end{aligned}\right. \)

Answer 1

Als Unbekannte nehme ich mal a, b, c und d

[0, 0, 3, 6, -3]
[1, 1, 2, 0, 1]
[2, 2, 1, -6, 5]

Ich vertausche mal die Zeilen

[1, 1, 2, 0, 1]
[2, 2, 1, -6, 5]
[0, 0, 3, 6, -3]

II - 2*I

[1, 1, 2, 0, 1]
[0, 0, -3, -6, 3]
[0, 0, 3, 6, -3]

Damit fällt die 2. Gleichung als Linear abhängig weg.

[1, 1, 2, 0, 1]
[0, 0, 3, 6, -3]

Ich wähle d als 1. Freiheitsgrad

3c + 6d = -3
c = - 2·d - 1

Ich wähle b als 2 Freiheitsgrad

a + b + 2c = 1
a + b + 2(- 2·d - 1) = 1
a = -b + 4·d + 3

Damit haben wir den Lösungsvektor

[-b+4d + 3, b, -2d-1, d]

Oder mit x₁ bis x₄

[-x₂+4x₄ + 3, x₂, -2x₄-1, x₄]