Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen E1: x1 + x2 − 2x3 = −1 und E2: 2x1 + x2 − 3x3 = 2

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen E1: x1 + x2 − 2x3 = −1 und E2: 2x1 + x2 − 3x3 = 2

a) ohne Hilfsmittel

Problem/Ansatz:

Wie macht man das, wenn es in der Koordinatenform gegeben ist? Kann das jemand vorrechnen?

Answer 1

Eine Gerade ist durch 2 Punkte eindeutig bestimmt.

Finde einfach zwei Punkte, deren Koordinaten beide Gleichungen des Gleichungssystems erfüllen.

Comments

Was soll ich dann mit den Punkten machen?

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Na, die Gleichung einer Geraden aufstellen, die durch diese beiden Punkte geht.

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Kann man nicht einfach x2 „löschen“, indem man die Gleichungen subtrahiert. Dann aus der neuen Gleichung x1 herausfinden?

Answer 2

Aloha :)

Wir formen eine der beiden Ebenengleichungen in die Parameterform um. Die Koordinatengleichung für \(E_1\) können wir sehr leicht nach \(x_1\) umstellen:$$x_1+x_2-2x_3=-1\quad\implies\quad x_1=-1-x_2+2x_3$$Damit haben wir die Parameterform schon gefunden:

$$E_1\colon\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1-x_2+2x_3\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$$Wir ersetzen noch \(x_2\) durch \(s\) und \(x_3\) durch \(t\), um gleich ein Durcheinander zu vermeiden:$$E_1\colon\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$$

Jetzt setzen wir die Koordinaten von \(E_1\) in die Koordinatengleichung von \(E_2\) ein:$$2=2x_1+x_2-3x_3=2(-1-s+2t)+s-3t=-2-s+t\quad\implies\quad t=4+s$$

Dieses \(t\) setzen wir in die Parameterform von \(E_1\) ein und erhalten die Schnittgerade:$$g\colon\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+(4+s)\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+8\\0\\0+4\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1+2\\1+0\\0+1\end{pmatrix}$$$$g\colon\;\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\0\\4\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$