Asymptoten bestimmen, wie erhalte ich diese?

Question

ich habe die Funktion f(x) = x^4 - x

Und führe gerade eine Kurvendiskussion durch.

Nun komme ich an den Punkt an dem ich die Asymptoten bestimmten soll (Verhalten für x -> +- ∞)

Ich habe jetzt lim für +- ∞ bestimmt

lim x -> ∞ x^4 - x = ∞

lim x -> - ∞ x^4 -x = ∞

In den Lösungen nachgeschaut:

Das Grenzwertverhalten stimmt.

Wieso "Als Asymptote erhalten wir g(x) = x^4" ? Wie komme ich dadrauf? Und wieso muss ich am Ende noch lim x -> ∞ f(x) / g(x) hinschreiben? Es wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Und

Liebe Grüße

Euer Max

Comments

Hi Max,

das habe ich so noch nie gesehen. Klar und interessant, aber... . Wird das bei euch im Skript iwo nähers erklärt?

Bei Polynomen kann man die Asymptote durch die höchste Potenz angeben. Da brauchts nicht mehr :P.

Grüße

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Danke, leider nicht. Deswegen wundere ich mich. :/

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Kannst du ein Foto der Aufgabe einstellen ?
Die Antwort passt gar nicht.

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Ja, klar.

Das ist die Aufgabe. Sollte ich noch die ganze Lösung reinschicken?

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Ja. Fülltext.

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Die Antwort passt gar nicht. 

Nachdem es schon zwei Antworten gibt, bist Du immernoch der Meinung, dass die Antwort/Lösung "gar nicht" passt. Erstaunlich. Vielleicht machst Du Dir jetzt etwas Mühe und schaust Dir die Antworten unten an. Die Antworten dürfen nämlich alle lesen, nicht nur die Fragesteller ;).

Answer 1

Funktion f(x) = x^{4} - x

Und führe gerade eine Kurvendiskussion durch.

Nun komme ich an den Punkt an dem ich die Asymptoten bestimmten soll (Verhalten für x -> +- ∞).

Die bestimmen das asymptotische Verhalten von f und nicht eine Asymptote, die z.B. eine Gerade ist.

Dazu überlegen die sich, welche Potenzfunktion sich im Unendlichen ungefähr gleich verhält wie  f(x) = x^{4} - x .

x^4 ist betragsmässig viel grösser als x , wenn x gegen ±unendlich geht.

Also: Vermutung g(x) = x^4 .

Mit Hilfe der Grenzwertberechnung in deinem Bild wird nachgewiesen, dass

f : g = 1 : 1 für x gegen ± unendlich 

Answer 2

na der Bruch ist doch scheinbar die Definition von Asymptote:

eine Funktion f(x) Verhält sich im unendlichen asymptotisch wie die Funktion g(x), wenn

lim x----> ∞ f(x)/g(x) = 1

(Zumindest wenn lim x---> ∞ f(x) =±∞, ansonsten kann ja g(x)=0 auch sein)

Bei Potenzfunktionen ist dies besonders einfach, weil da die höchste Potenz entscheident wirkt.