Polstellen und Asymptoten berechnen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die folgende Funktion:

\( f(x)=(x-3)^{-1}+2 \)

(a) Bestimmen Sie die Polstelle und die Asymptote von \( f(x) \).

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

a) \( f(x)=\frac{1}{(x-3)}+2 \)
Polstalle:
Asymptole: zählergrad < vennergad \( \Rightarrow \) waogereche Asymptore

Folgende Aufgabe:

Die Polstelle habe ich soweit berechnet aber wie komme ich auf die Asymptote, die soll nämlich 2 sein

Answer 1

wie komme ich auf die Asymptote, die soll nämlich 2 sein

Der Grenzwert des ersten Summanden des Funktionsterms für x → ∞ ist null.

Comments

Kann man die Asymptote auch ohne Grenzwert berechnen ?

---

Eine waagerechte Asymptote liegt in zwei Fällen vor:

* Wenn der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad. In diesem Fall ist die x-Achse die waagerechte Asymptote. In Deinem Fall muss man dann noch 2 addieren.

* Wenn der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist. Dann lässt sich die waagerechte Asymptote berechnen, indem man die Faktoren vor der höchsten Potenz im Zähler durch den Faktor der höchsten Potenz im Nenner teilt.

Answer 2

1/(x-3) -> 0 für x -> +-oo

Answer 3

\( f(x)=(x-3)^{-1}+2 \)

\( f(x)=\frac{1}{x-3}+2 \)

\( f(x)=\frac{1+2\cdot(x-3)}{x-3}=\frac{2x-5}{x-3} \)

Nullstelle bei \(x=2,5\)

Polstelle bei \(x=3\)

Asymptote:

Mit x kürzen:

\( \lim\limits_{x\to\infty}\frac{2x-5}{x-3}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2-\frac{5}{x}}{1-\frac{3}{x}} =2\)

oder mit l´Hospital: \( \frac{Z'}{N'} \)

\( \lim\limits_{x\to\infty}\frac{2x-5}{1x-3} =\frac{2}{1}\)