Funktionen f(x)=(x-2)/(x+1), f(x)= (3x^2-2x+1)/(x-2). Suche Polstellen, hebbare Lücken und Asymptoten

Question

Unterfuchen Sie die Funktionen f(x) auf Polstellen, hebbare Lücken und Asymptoten.

 

a)   f(x)= (x-2)/(x+1)

 

b)   f(x)= (3x²-2x+1)/(x-2)

 

c)   f(x)= (3x-6)/(x²+2)

 

d)   f(x)= (x³-3x-3)/(x-3)

 

Zudem noch die Frage was sind Polstellen, hebbare Lücken und Asymptoten?

Answer 1

Hi,

ich zeige Dir das mal für die d). Den Rest überlasse ich Dir, ok?! ;)

Polstelle: Hast Du eine Nennernullstelle, so ist das verbotenes Terrain. Ist diese Nullstelle nicht im Zähler zu finden (kürzt sich also nicht), so hast Du eine Polstelle und senkrechte Asymptote

hebbare Lücke: Siehe Polstelle, nur kürzt sich hier die Nennernullstelle. Im Graphen fällt das Fehlen des Punktes kaum auf (im Gegensatz zur Polstelle). Man kann hier "stetig ergänzen".

Asymptote: Es gibt die senkrechte Asymptote (Polstelle) und (in der Hauptsache) die waagerechte Asymptote, welche das Verhalten der Funktion im Unendlichen beschreibt. "in der Hauptsache", da die Asymptote nicht unbedingt waagerecht sein muss, sondern auch "schief" etc sein kann, was aber hier die Sache übersteigt (siehe Schulbuch).


d)

Definitionsbereich: D = ℝ\{3}

Überprüfen ob x = 3 auch eine Zählernullstelle ist (einsetzen) -> nicht der Fall

---> Polstelle und senkrechte Asymptote bei x = 3.

Asymptoten: Polynomdivision durchführen:

(x^3          - 3x  -  3) : (x - 3)  =  x^2 + 3x + 6 R 15
-(x^3  - 3x^2)          
——————————
        3x^2  - 3x  -  3
      -(3x^2  - 9x)    
————————
                6x  -  3
              -(6x  - 18)
                —————
                      15

Wir können also auch schreiben:

(x^3-3x-3) / (x-3) = x^2+3x+6   +  15/(x-3)

Das Polynom ist dabei die Asymptote (sie ist also weder waagerecht, noch schief, sondern parabelförmig!)

-> Asymptote mit y = x^2+3x+6


Grüße