partielle Integration; Zerlegung

Question

Zerlegen Sie die Funktion \( f(x)=\left(x^{3}+3 x^{2}+3 x\right) \exp (x) \) passend in ein Produkt \( f(x)=u(x) v^{\prime}(x) \), so dass Sie partielle Integration anwenden können:
\( u(x)=?, v^{\prime}(x)=? \)
mit
\( u^{\prime}(x)=?, v(x)=? \text {. } \)

Dann ist
\( \int \limits_{a}^{b} f(x) d x=[?]_{a}^{b}-\int \limits_{a}^{b} ? d x \)

Comments

Was hast Du probiert? Gibt ja nur zwei Möglichkeiten. Wie weit bist Du dann gekommen?

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https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 1

Aloha :)

Die Exponentialfunktion \(e^x\) bleibt beim Ableiten oder Integrieren ungeändert. Da Polynom in Klammern verringert seinen Grad beim Ableiten und erhöht seinen Grad beim Integrieren. Wenn du das Polynom 3-mal ableitest, bleibt eine Konstante übrig, sodass du das letzte Integral direkt hinschreiben kannst. Die Idee ist daher, das Polynom bei der partiellen Integration abzuleiten und die Exponentialfunktion zu integrieren:

$$\int\underbrace{(x^3+3x^2+3x)}_{u}\cdot\underbrace{e^x}_{v'}\,dx=\green{\underbrace{(x^3+3x^2+3x)}_{u}\cdot\underbrace{e^x}_{v}}\red-\int\underbrace{(3x^2+6x+3)}_{u'}\cdot\underbrace{e^x}_{v}\,dx$$

Das machen wir gleich mit dem verbliebenen Integral nochmal:$$\int\underbrace{(3x^2+6x+3)}_{u}\cdot\underbrace{e^x}_{v'}\,dx=\red{\underbrace{(3x^2+6x+3)}_{u}\cdot\underbrace{e^x}_{v}}\green-\int\underbrace{(6x+6)}_{u'}\cdot\underbrace{e^x}_{v}\,dx$$

Und nochmal, weils so cool ist:$$\int\underbrace{(6x+6)}_{u}\cdot\underbrace{e^x}_{v'}\,dx=\green{\underbrace{(6x+6)}_{u}\cdot\underbrace{e^x}_{v}}\red-\int\underbrace{6}_{u'}\cdot\underbrace{e^x}_{v}\,dx$$

Das letzte Integral ist nun klar:$$\int6e^x\,dx=\red{6e^x}+\text{const}$$

Beim Zusammensetzen des Ergebnisses müssen wir die Vorzeichen vor den Integralen beachten. Daher habe ich Terme mit positivem Vorzeichen grün eingefärbt und Terme mit negativem Vorzeichen rot:

$$I(x)=\int(x^3+3x^2+3x)\cdot e^x\,dx$$$$\phantom{I(x)}=\green{(x^3+3x^2+3x)e^x}-\red{(3x^2+6x+3)e^x}+\green{(6x+6)e^x}-\red{6e^x}+\text{const}$$$$\phantom{I(x)}=\left(\green{x^3+\cancel{3x^2}+3x}\red{-\cancel{3x^2}-\cancel{6x}-3}+\green{\cancel{6x}+\cancel6}\red{-\cancel6}\right)\cdot e^x+\text{const}$$$$\phantom{I(x)}=(x^3+3x-3)\cdot e^x+\text{const}$$

Comments

Super Antwort, vielen Dank :)

Answer 2

Es steht doch schon fast alles da. Es gibt hier nur eine sinnvolle Zerlegung. Beachte: zwischen der Klammer und der Exponentialfunktion steht ein \(\cdot\).

Wenn das nicht hilft, stelle bitte eine konkrete Frage.

Comments

Ihr macht es euch etwas zu einfach. Die Frage suggeriert, dass es EINE partielle Integration gibt, die hilft. Da steht nicht mal eine Andeutung davon, dass mehrmals partiell integriert werden muss (es sei denn, aus vorherigen Teilaufgabe ist eine Stammfunktion von so etwas wie x²*exp(x) schon bekannt),

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Die Frage suggeriert gar nichts. Je nach Fachgebiet werden Aufgaben teilweise so gestellt, dass eine Rechnung nicht einmal komplett durchgeführt werden muss, sondern nur der erste Schritt. Das zeigt auch diese lückentextartige Struktur der Lösung, die nur auszufüllen ist.

Es wird nur gefordert, dass man partiell integrieren kann und das kann man bereits so, wie das Produkt da steht.

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Suggerierungen liegen immer im Auge des Betrachters. Hier soll einfach mal losgelegt werden, daher ist ein Ansatz gesucht. Der FS hat das aber anscheinend gar nicht erst versucht. Funktioniert hier im Forum ja, weil er es dann früher oder später vorgerechnet kriegt und das Erfolgserlebnis damit vermasselt ist.

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Es gibt hier nur eine sinnvolle Zerlegung

"sinnvoll" ist nicht das Kriterium der Aufgabenstellung. Die Zerlegung muss nur insoweit passend sein, als damit eine partielle Integration durchgeführt werden kann.

Man könnte ja mal die andere Zerlegungsmöglichkeit ausprobieren und testen, was die maschinelle Auswertung dazu sagt, wenn nicht gerade das Bestehen einer Prüfung davon abhängt.

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Völlig richtig, @Gast hj, das wäre sinnvolles Vorgehen. Aber wieso maschinell? Beide Varianten von Hand ausprobieren würde einen Lernerfolg bringen. Der ist aber hier leider nicht mehr möglich.

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Aber wieso maschinell?

Das Aufgabenformat macht auf mich den Eindruck als würden die eingereichten Lösungen maschinell ausgewertet.

Mit "ausprobieren" meinte ich also "hochladen".

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Achso, Du meinst die "maschineller Auswertung" die Bewertung der Lösung als richtig/falsch (ich dachte Du meinst im Sinne von mit CAS o.ä. die Stammfunktion berechnen).

Ja, macht auch auf mich den Eindruck. Demnach müssten beide Varianten als korrekt ausgewertet werden. Damit gehen die hier ausführlich vorgeturnten Antworten ohnehin am Thema vorbei.

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Damit gehen die hier ausführlich vorgeturnten Antworten ohnehin am Thema vorbei.

Was hier ja keine Seltenheit ist.

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@nudger. Ich habe bereits einiges probiert, was von dem Programm aber als falsch angegeben wurde, also habe ich hier Hilfe gesucht. Selbst bei einer vorgerechneten Lösung kann man die Zusammenhänge verstehen, wenn man sie sich genau anschaut und mit der Vorlage andere Beispiele selbstständig rechnet. Im Gegensatz zu deinen Kommentaren hier haben mir die ''vorgeturnten Antworten'' wenigstens geholfen.

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Einige Helfer hier, z.B. ich, hätten gerne mit Dir eine Antwort erarbeitet. Dabei lernt man am meisten.

Daher hab ich bewusst keine Antwort gegeben, sondern per Kommentar nachgefragt. Gab aber keine Reaktion von Dir darauf.

Wenn Du nur eine Lösung nachlesen willst, bin ich der falsche "Helfer". Dass Deine Eingabeversuche schief gegangen sind, konnte keiner wissen. Am besten nächstes Mal vollständige Info liefern.

Ich verstehe aber, dass es sich gut anfühlt, eine fertige Lösung nachlesen zu können.

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Weil es im Internet ja auch keine Beispiele gibt... Und die Info, dass man zumindest schon etwas probiert hat inklusive entsprechender Rechnungen würde auch eine ganz andere und vor allem gezielter Hilfe ermöglichen und nicht so ein schlechtes Bild auf die Fragesteller im Allgemeinen werfen.

Answer 3

Hier ein Weg, wie man über die partielle Integration direkt in einem Schritt partiell integrieren könnte.

Schnapp dir mal die Produktregel fürs Ableiten

[u·v]' = u'·v + u·v'

Wenn v = e^x ist, dann ist v' = v

[u·v]' = u'·v + u·v = (u + u')·v

D.h. wir brauchen nur vorher das Polynom in die Summe aus einem Polynom und deren Ableitung aufteilen.

f(x) = (x^3 + 3·x^2 + 3·x)·e^x = ((x^3 + 3·x - 3) + (3·x^2 + 3 - 0))·e^x

Dann ist eine Stammfunktion offensichtlich

F(x) = (x^3 + 3·x - 3)·e^x

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Dankeschön :)