Partielle Integration mit Exponentialfunktion und Sinus

Question

Aufgabe:

Folgendes ist mittels partieller Integration zu berechnen: \( \int\limits_{}^{} \) \( e^{x} \) sin(x)

Problem/Ansatz:

Hat hierfür jemand einen etwas ausführlicheren Ansatz? Wenn ich nämlich versuche partielle Integration anzuwenden, lande ich wieder beim cosinus und dann wieder beim sinus und so weiter, drehe mich also im Kreis.

Comments

Hallo,

schreib mal Deine Rechnung hier auf: Wenn Du 2mal partiell integriert hast - zum Beispiel beidemal e^x integriert - dann erhältst Du eine Gleichung, die Du nach der gesuchten Stammfunktion auflösen kannst.

Gruß Mathhilf

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Hier:

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

\( \int\limits_{}^{} e^{x} \cdot sin(x)  dx \) geht nach der  Formel

 \( \int\limits_{}^{} u'(x) \cdot v(x)   dx = u(x) \cdot v(x) - \int\limits_{}^{} u(x) \cdot v ' (x)  dx \)

mit u ' (x) = e^x und v(x) = sin(x)

also u(x)=e^x und v'(x) = cos(x)

Also \( \int\limits_{}^{} e^{x} \cdot sin(x)  dx \)

= \( e^x \cdot sin(x) - \int\limits_{}^{} e^{x} \cdot cos(x)  dx \)

und jetzt das Ganze nochmal

=  \( e^x \cdot sin(x) - (  e^x \cdot cos(x)  -  \int\limits_{}^{} e^{x} \cdot (-sin(x) ) dx ) \)

=  \( e^x \cdot sin(x) - (  e^x \cdot cos(x)  +  \int\limits_{}^{} e^{x} \cdot sin(x)  dx) \)

=   \( e^x \cdot (sin(x) - cos(x))  - \int\limits_{}^{} e^{x} \cdot sin(x)  dx \)

Also hast du

\( \int\limits_{}^{} e^{x} \cdot sin(x)  dx \) =  \( e^x \cdot (sin(x) - cos(x))  - \int\limits_{}^{} e^{x} \cdot sin(x)  dx \)

<=> \( 2\int\limits_{}^{} e^{x} \cdot sin(x)  dx \) =  \( e^x \cdot (sin(x) - cos(x))  x \)

<=>  \( \int\limits_{}^{} e^{x} \cdot sin(x)  dx \) =  \( 0,5e^x \cdot (sin(x) - cos(x))  x \)

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Dankeschön :)

Answer 2

Hallo,

siehe hier:

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