\( \int\limits_{}^{} e^{x} \cdot sin(x) dx \) geht nach der Formel
\( \int\limits_{}^{} u'(x) \cdot v(x) dx = u(x) \cdot v(x) - \int\limits_{}^{} u(x) \cdot v ' (x) dx \)
mit u ' (x) = e^x und v(x) = sin(x)
also u(x)=e^x und v'(x) = cos(x)
Also \( \int\limits_{}^{} e^{x} \cdot sin(x) dx \)
= \( e^x \cdot sin(x) - \int\limits_{}^{} e^{x} \cdot cos(x) dx \)
und jetzt das Ganze nochmal
= \( e^x \cdot sin(x) - ( e^x \cdot cos(x) - \int\limits_{}^{} e^{x} \cdot (-sin(x) ) dx ) \)
= \( e^x \cdot sin(x) - ( e^x \cdot cos(x) + \int\limits_{}^{} e^{x} \cdot sin(x) dx) \)
= \( e^x \cdot (sin(x) - cos(x)) - \int\limits_{}^{} e^{x} \cdot sin(x) dx \)
Also hast du
\( \int\limits_{}^{} e^{x} \cdot sin(x) dx \) = \( e^x \cdot (sin(x) - cos(x)) - \int\limits_{}^{} e^{x} \cdot sin(x) dx \)
<=> \( 2\int\limits_{}^{} e^{x} \cdot sin(x) dx \) = \( e^x \cdot (sin(x) - cos(x)) x \)
<=> \( \int\limits_{}^{} e^{x} \cdot sin(x) dx \) = \( 0,5e^x \cdot (sin(x) - cos(x)) x \)
