Induzierte Matrixnorm Beweis

Question

Aufgabe: Wir betrachten die \( 3 \times 3 \)-Matrix
\( A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \)

Sei \( \|\cdot\|_{M} \) die von der Euklidischen Norm \( \|z\|_{2}=\sqrt{\sum \limits_{j=1}^{n} z_{j}^{2}} \) induzierte Matrixnorm. Beweisen Sie, dass \( \|A\|_{M}=4 \) gilt.

Problem/Ansatz: Wir hatten den Satz mit ||A||M = max unter ||x||2 = 1 mit ||Ax||. Wie schreibe ich es auf, also ist es dann das max{(wurzel(|x(1)|^2 ; wurzel(|4*x(2)|^2 ; wurzel(|-3*x(3)|^2} und dann bestimmt man die x(1,2,3) so, dass ||x||2 = 1 gilt? Also mich verwirrt, das ||Ax|| eine Vektornorm ist, also summiert man ja die Zeilen mit dem Spaltenvektor und dann nimmt man das Maximum unter der Bedingung ||x||2 = 1 ist?

Answer 1

Rechne \(Ax\) aus und setze es für \(z\) in die Formel ein um \(\|Ax\|_M\) zu erhalten. Dann überlege wie groß das maximal werden kann, wenn \(\|x\|=1\) ist.

Comments

Okay, Ax ist ja dann [x1] [4x2] [-3x3] und die Norm ist dann mit z: je die einzelnen spalten, also [wurzel |x1|] [wurzel |4x2|] [wurzel |-3x3] oder? Oder muss ist die einzelnen Spalten aufsummieren, wegen Vektornorm, das ist das was mich gerade verwirrt

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Ax stimmt, und nun berechne mit der Formel \(\|Ax\|_2\). Überlege Dir genau, was \(z\) und damit \(z_1,z_2,z_3\) ist.

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Also: ||Ax||2 =  \( \sqrt{|x1|^2 + |4x2|^2 + |(-3)x3|^2} \)

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Wenn Du LaTeX verwendest, dann mach es doch gleich sorgfältig.

So, jetzt gibt es zwei Möglichkeiten:

1. rechnerisch: Wir wollen \(f(x_1,x_2,x_3)= x_1^2+16x_2^2+9x_3^2\) unter der Nebenbedingung \(x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\) minimieren (wenn man die Wurzel quadriert, ändert sich das gesuchte \(x\) nicht, rechnet sich aber leichter; man muss dann nur am Ende noch die Wurzel ziehen). Das kann man mit Lagrange-Multiplikator durchrechnen. Dabei sauber die Fallunterscheidungen durchrechnen. Dabei stellt man fest, dass nur \(x\) auf den Koordinatenachsen in Frage kommen, den Rest kann man leicht durchrechnen.

2. geometrisch: die Nebenbedingung lautet ja, dass \(x\) auf der Einheitskugel liegt (genauer: auf deren Oberfläche). Die Abbildung bewirkt nun eine Streckung in Richtung der Koordinatenachsen, daher muss man nur die Punkte auf den Koordinatenachsen prüfen. Rest wie am Ende von Lösung 1.

Auf https://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Matrixnorm#Beispiel

ist ein Beispiel für die geometrische Lösung in \(\R²\), wobei es dort noch komplizierter ist, weil eine Drehung drin ist (haben wir hier ja nicht).

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Man kann in diesem Fall auch zeigen, dass gilt

\(||A||_M = \sqrt{\lambda_{\text{max}}(A^TA)}\), wobei \(\lambda_{\text{max}}(A^TA)\) der betragsmäßig größte Eigenwert von \(A^TA\) ist (siehe hier unter "Spektralnorm").

Answer 2

Du nimmst deine Formel.

Sei also \(||x||_2 = 1\)

Es ist hier günstiger, mit dem Quadrat der Norm zu rechnen, um die Wurzel loszuwerden:

$$||Ax||_2^2 =x_1^2 + (4x_2)^2 +(-3x_3)^2 \leq 16\underbrace{(x_1^2 + x_2^2+ x_3^2)}_{=1}= 16$$

Das Maximum wird für \((x_1,x_2,x_3) = (0,1,0)\) angenommen.

Fertig.

Comments

Mit \(x = (0,0,1)^t\) ist doch aber \(||Ax||_2^2 = 9 > 4\), oder übersehe ich etwas.

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Oh. Ich hab mich verrechnet. Die 4 muss quadriert werden.

Kleinen Moment. Ich passe das schnell an.
Danke für den Hinweis.