Beweis zur Matrixnorm führen

Question

Aufgabe:

Es sei p ∈ ℕ. Beweise, dass für Matrizen A, B, ∈ ℝ^{n x n} allgemein gilt

|| A * B ||_p = max_{x∈ ℝ}ⁿ_{: ||x||p=1} ||A*x||p

|| A * B ||_p ≤ ||A|| * _p ||B|| * _p

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass zB. bei einer Matrix A = \( \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \) ||A1|| definiert ist als

||A||₁ = max { |4| + |0|, |2| + |-2| } = max {4,4} = 4

||A||_∞ = max { |4| + |2|, |0| + |-2| } = max {6,2} = 6

||A||₂ = A^T*T, also in dem Beispiel dann \( \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \) *  \( \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \)

Jetzt weiß ich nicht, wie man das formal als Beweis ausdrücken soll.