Matrixnorm der Abbildung

Question

Sei \( A \in \mathbb{R}^{N \times n} \). Bestimmen Sie die Operatornorm (Matrixnorm) von \( A \) als Abbildung von \( \left(\mathbb{R}^{n},\|\cdot\|_{1}\right) \) nach \( \left(\mathbb{R}^{N},\|\cdot\|_{1}\right) \). Beweisen Sie alle Aussagen!

Hallo, ich verstehe diese Aufgabe nicht ganz, ich dachte eine Maztixnorm kann nur dann zugeordnet werden ,wenn ⌈ · ⌉R ⁿ passend zu ⌈ · ⌉R ^N zugeordnet werden kann.

Wäre schön wenn mir jemadn helfen könnte.

Answer 1

Hallo,

Deine Frage kann ich leider nicht lesen / verstehen.

Ein Zugang zur Lösung der Aufgabe wäre: Für alle \(x \in \R^n\) gilt

$$\|Ax\|_1=\sum_{i=1}^N|(Ax)_i|=\sum_{i=1}^N|\sum_{j=1}^na_{ij}x_j| \leq \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^n|a_{ij}||x_j|=\sum_{j=1}^nc_j|x_j|$$

$$\text{Mit }c_j:=\sum_{i=1}^N|a_{ij}|$$

Folglich gilt

$$\|Ax\|_1 \leq c \|x\|_1 \text{  mit  }c:=\max\{c_1, \ldots,c_n\}$$

Daraus folgt, dass c eine obere Abschätzung die Operatornorm ist.

Durch ein konkretes Beispiel für x kann man zeigen, dass sich diese Abschätzung nicht (allgemein) verbessern lässt, dass also die Operatornorm tatsächlich gleich c ist.

Gruß Mathhilf

Comments

Danke ich hatte etwas falsch verstanden du konntest mit sehr weiterhelfen