Aloha :)
Die Exponentialfunktion ex bleibt beim Ableiten oder Integrieren ungeändert. Da Polynom in Klammern verringert seinen Grad beim Ableiten und erhöht seinen Grad beim Integrieren. Wenn du das Polynom 3-mal ableitest, bleibt eine Konstante übrig, sodass du das letzte Integral direkt hinschreiben kannst. Die Idee ist daher, das Polynom bei der partiellen Integration abzuleiten und die Exponentialfunktion zu integrieren:
∫u(x3+3x2+3x)⋅v′exdx=u(x3+3x2+3x)⋅vex−∫u′(3x2+6x+3)⋅vexdx
Das machen wir gleich mit dem verbliebenen Integral nochmal:∫u(3x2+6x+3)⋅v′exdx=u(3x2+6x+3)⋅vex−∫u′(6x+6)⋅vexdx
Und nochmal, weils so cool ist:∫u(6x+6)⋅v′exdx=u(6x+6)⋅vex−∫u′6⋅vexdx
Das letzte Integral ist nun klar:∫6exdx=6ex+const
Beim Zusammensetzen des Ergebnisses müssen wir die Vorzeichen vor den Integralen beachten. Daher habe ich Terme mit positivem Vorzeichen grün eingefärbt und Terme mit negativem Vorzeichen rot:
I(x)=∫(x3+3x2+3x)⋅exdxI(x)=(x3+3x2+3x)ex−(3x2+6x+3)ex+(6x+6)ex−6ex+constI(x)=(x3+3x2+3x−3x2−6x−3+6x+6−6)⋅ex+constI(x)=(x3+3x−3)⋅ex+const