Aloha :)
Du wählst einen dieser \(3\) Punkte als Ankerpunkt aus. Wir wählen \(P(0|1|2)\).
Vom Ursprung \(0\) zum Ankerpunkt \(P\) gelangst du, wenn du folgenden Vektor entlang läufst:$$\overrightarrow{0P}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$$
Du kannst nun vom Punkt \(P(0|1|2)\) aus beliebig weit in Richtung \(Q(2|0|4)\) oder in Richtung \(R(4|8|0)\) laufen, ohne die Ebene wieder zu verlassen. Von \(P\) nach \(Q\) wird die \(x\)-Koordinate um \(2\) größer, die \(y\)-Koordinate um \(1\) kleiner und die \(z\)-Koordinate um \(2\) größer. Daher lautet der entsprechende Richtungsvektor$$\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$$Von \(P\) nach \(R\) wächst die \(x\)-Koordinate um \(4\), die \(y\)-Koordinate wächst um \(7\) und die \(z\)-Koordinate verringert sich um \(2\). Der Richtungsvektor ist also:$$\overrightarrow{PR}=\begin{pmatrix}4\\7\\-2\end{pmatrix}$$Das "beliebig weit" drücken wir durch \(2\) Faktoren \(s\) und \(t\) aus, die wir vor diese beiden Richtungsvektoren schreiben. Diese Faktoren sind die "Parameter" und können auch negativ sein, wenn du entgegengesetzt zu einem Richtungsvektor laufen möchtest, denn auch dann bleibst du ja in der Ebene.
Zusammengefasst können wir also alle Punkte \(\vec x\) der Ebene \(E\) wie folgt angeben:$$E\colon\vec x=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}4\\7\\-2\end{pmatrix}\quad;\quad s;t\in\mathbb R$$
Beachte bitte, dass diese Darstellung nicht eindeutig ist. Stell dir vor, wir hätten als Ankerpunkt nicht \(P\), sondern \(Q\) gewählt. Dann wären wir zu einer anderen Darstellung derselben Ebene gekommen.
