Zeigen Sie, dass es kein A ∈ M(3, 3; ℝ) mit A2 = -I3 gibt.

Question

Aufgabe:

a) Zeigen Sie, dass es kein A ∈ M(3, 3; ℝ) mit A² = -I₃ gibt.

b) Geben Sie ein Beispiel einer Matrix A ∈ M(3, 3; ℂ) an, die A² = -I₃ erfüllt. Geben Sie für eine allgemeine Matrix A ∈ M(3, 3; ℂ), die A² = -I₃ erfüllt, die inverse Matrix A^-1 an.

Problem/Ansatz:

Zu a) Zu zeigen ist, dass A² nicht =

-1	0	0
0	-1	0
0	0	-1

sein kann. Leider verstehe ich prinzipiell nicht, wie man an diese "Zeigen Sie"-Aufgaben rangeht. Falls mir jemand erklären könnte, wie man grundsätzlich Aufgabentypen dieser Art behandelt, wäre ich sehr dankbar.

Zu b)

A =

i	0	0
0	i	0
0	0	i

a^-1=

-i	0	0
0	-i	0
0	0	-i

Stimmt dies?

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank!

Answer 1

Zu a)

 \(\det(A^2) = (\det(A))^2 \neq -1 = \det(-I_3)\).
Daher kann es keine reelle Matrix mit der gewünschten Eigenschaft geben.

b) ist korrekt bzgl. des Beispiels.

Allgemein gilt:

\(A^2 =-I_3 \Leftrightarrow A = -A^{-1} \Leftrightarrow A^{-1} = -A\)

Comments

b) ist korrekt.

b) wäre korrekt, wenn gezeigt würde, dass die angegebene Matrix A eindeutig ist, was zu zeigen allerdings nicht möglich ist.

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@ Gast hj2166
Danke für den Hinweis. Hab den zweiten Satz von b) zu oberflächlich gelesen.

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Ich habe bei Wolfram mal

((a,b,c),(d,e,f),(g,h,k))^2=((-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1))

eingegeben. Da geht so Einiges.

Answer 2

Zu a) Berechne das Quadrat von \( \begin{pmatrix} c & a&0 \\ 0 & c&b\\d&0&c \end{pmatrix} \), Dann findest du in der Diagonalen überall c², was in ℝ nicht -1 sein kann.

Zu b) Stimmt.