Multiplikation einer inversen Rotations- und Translationsmatrix

Question

Text erkannt:

Nachdem eine rigide Transformation (Rotation und Translation)
\( T=\left(\begin{array}{ccc} 0.5403 & 0.8415 & -6.5987 \\ -0.8415 & 0.5403 & 19.5309 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \)
bestimmt wurde, die jeden Punkt \( \boldsymbol{x} \in X \) auf einen Punkt \( \boldsymbol{y} \in Y \) abbildet, möchten Sie die beiden Bilder \( X \) und \( Y \) übereinander legen. Sei \( \boldsymbol{x}^{\prime}=(5,10)^{\boldsymbol{\top}} \).

Wie kommt man auf folgendes Ergebnis für

\( \boldsymbol{x}=T^{-1} \boldsymbol{x}^{\prime}=(14.29,4.61,1)^{\top} \)

beziehungsweise wie schaut die inverse T^-1 aus? Irgendwie funktionierts bei mir nicht

Comments

Der Vektor \(\boldsymbol x^\prime\) kann nicht zweidimensional sein. Sollte es vielleicht \(\boldsymbol x^\prime=(5,10,1)^{\boldsymbol\top}\) heißen?

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Ich denke schon, aber so wurde das in der Aufgabe beschrieben. Denke, die 1 fehlt dennoch.

Answer 1

Es handelt sich offensichtlich um homogene Koordinaten, z-Koordinate 1 bedeutet, das es sich um einen Vektor handelt. Dein x ist in homogenen Koordinaten als (5,10,1) zu schreiben und mit der Inversen zurück zu transformieren..

\(T^{-1} \left( \begin{array}{rrr}5 \\ 10 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr}14.29 \\ 4.61 \\ 1 \end{array} \right)\)

Der Rotationsteil wird transponiert

\(\small T^{-1}= \left(\begin{array}{rrr}0.54&-0.84&20\\0.84&0.54&-5\\0&0&1\\\end{array}\right)\)

Comments

Könntest du mir noch erklären, wie der Translationsvektor (20, -5, 1)^T in T zustande kommt?

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Die teilinvertierte mitTransposition der Rotationsmatrix

\(\small T \; \left(\begin{array}{rrr}0.54&-0.84&a\\0.84&0.54&b\\0&0&1\\\end{array}\right)\)

muss die Einheitsmatrix ergeben

\(\small \left(\begin{array}{rrr}1&0&0.54 \; a + 0.84 \; b - 6.6\\0&1&-0.84 \; a + 0.54 \; b + 19.53\\0&0&1\\\end{array}\right)\)

{0.5403a + 0.8415b - 6.5987=0, -0.8415 a + 0.5403b + 19.5309=0}