Aufgabe:
Gegeben ist die Logarithmische-Verteilung:
\(\ Log Vert(p)(\{k\})=\frac{-1}{\log (1-p)} \frac{p^{k}}{k} \quad \) für \( k \in \mathbb{N} \).
Der Konvergenzradius beträgt 1/p.
Nun soll die Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion berechnet werden wie folgt:
\( \begin{aligned} m_{X}(t) & =\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{-1}{\log (1-p)} \frac{p^{k}}{k} t^{k} \\ & =\frac{1}{\log (1-p)} \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2 k+1}}{k}(p t)^{k} \\ & =\frac{1}{\log (1-p)} \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}(-p t)^{k} \\ & =\frac{\log (1-p t)}{\log (1-p)}\end{aligned} \)
Problem/Ansatz:
Nun versuche ich den letzten Rechenschritt zu verstehen. Bedeutet das, dass
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}(-p t)^{k} \) = \( \log (1-p t) \) ?
Ich habe im Internet nach der Funktion gesucht, weil offensichtlich die Reihe durch log ersetzt wurde. Allerdings habe ich nichts gefunden. Ist das die ausgeschriebene Logarithmus-Funktion?
