Zwischenschritt bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion für die Logarithmus-Verteilung unklar

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Logarithmische-Verteilung:

$\ Log Vert(p)(\{k\})=\frac{-1}{\log (1-p)} \frac{p^{k}}{k} \quad$ für $k \in \mathbb{N}$.

Der Konvergenzradius beträgt 1/p.

Nun soll die Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion berechnet werden wie folgt:

$\begin{aligned} m_{X}(t) & =\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{-1}{\log (1-p)} \frac{p^{k}}{k} t^{k} \\ & =\frac{1}{\log (1-p)} \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2 k+1}}{k}(p t)^{k} \\ & =\frac{1}{\log (1-p)} \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}(-p t)^{k} \\ & =\frac{\log (1-p t)}{\log (1-p)}\end{aligned}$

Problem/Ansatz:

Nun versuche ich den letzten Rechenschritt zu verstehen. Bedeutet das, dass

$\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}(-p t)^{k}$ = $\log (1-p t)$ ?

Ich habe im Internet nach der Funktion gesucht, weil offensichtlich die Reihe durch log ersetzt wurde. Allerdings habe ich nichts gefunden. Ist das die ausgeschriebene Logarithmus-Funktion?

Answer 1

Es gilt

$\log (1-x) =-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}k$ für $-1\leq x < 1$.

Du hast

$\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{(-pt)^k}k = \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}(-1)^k\frac{(pt)^k}k$

$= -\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(pt)^k}k =\log (1-pt)$

Comments

Wow super, genau danach habe ich gesucht. Danke dir!

Macht absolut Sinn!!!