Aufgabe:
Über die Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion soll die Varianz wie folgt berechnet werden:
Erwartungswert: \( \mathrm{E}[X]=m_{X}^{\prime}(1)=\frac{-p}{\log (1-p)(1-p)} \)
und die Varianz:
\( \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) & =m_{X}^{\prime \prime}(1)+m_{X}^{\prime}(1)-\left(m_{X}^{\prime}(1)\right)^{2} \\ & =-\frac{p^{2}}{\log (1-p)(1-p)^{2}}-\frac{p}{\log (1-p)(1-p)}-\frac{p^{2}}{\log ^{2}(1-p)(1-p)^{2}} \\ & =\frac{-p^{2} \log (1-p)-p \log (1-p)(1-p)-p^{2}}{\log ^{2}(1-p)(1-p)^{2}} \\ & =\frac{-p \log (1-p)-p^{2}}{(1-p)^{2} \log ^{2}(1-p)} .\end{aligned} \)
Problem/Ansatz:
Mir ist nun nicht klar, warum die folgende Äquivalenz gilt bzw. wie der Schritt dazwischen aussieht? (Ja, womöglich eine sehr triviale Frage :D Aber ich sehe leider nicht den Rechenschritt dahinter).
\( \begin{array}{l}=\frac{-p^{2} \log (1-p)-p \log (1-p)(1-p)-p^{2}}{\log ^{2}(1-p)(1-p)^{2}} \\ =\frac{-p \log (1-p)-p^{2}}{(1-p)^{2} \log ^{2}(1-p)} .\end{array} \)
