Wie Zeichne ich die resultierende Funktion x(t)?

Question

Aufgabe:

Grafisches multiplizieren zweier Cosinus Funktionen

Problem/Ansatz:

x(t)=cos(Ω₁t)•cos(Ω₂t)   mit Ω₁=2Ω₂

Wie Zeichne ich die resultierende Funktion x(t)? Die zwei einzelnen cos Funktionen zeichne ich mir, die eine hat 2 Perioden zurück gelegt, währende die andere nur 1 Periode in der Zeit zurück legt.

Ich verstehe aber nicht wie ich das Produkt der beiden zeichne

Kleine Nebenfrage: Wie kann ich mir sowas bei Geogebra plotten?

Answer 1

Aloha :)

Das Produkt der beiden Cosinus-Funktion kannst du als Überlagerung (Summe) zweier Cosinus-Funktionen schreiben. Das kannst du dir wie folgt überlegen:$$\cos(\Omega_1t+\Omega_2t)=\cos(\Omega_1t)\cdot\cos(\Omega_2t)-\sin(\Omega_1t)\cdot\sin(\Omega_2t)$$$$\cos(\Omega_1t-\Omega_2t)=\cos(\Omega_1t)\cdot\cos(\Omega_2t)+\sin(\Omega_1t)\cdot\sin(\Omega_2t)$$Die Summe beider Gleichungen liefert:$$\cos(\Omega_1t+\Omega_2t)+\cos(\Omega_1t-\Omega_2t)=2\cos(\Omega_1t)\cdot\cos(\Omega_2t)$$Wegen \(\Omega_1=2\Omega_2\) heißt das:$$x(t)=\cos(\Omega_1t)\cos(\Omega_2t)=\cos(2\Omega_2t)\cos(\Omega_2t)=\frac{\cos(3\Omega_2t)+\cos(\Omega_2t)}{2}$$

~plot~ cos(4x) ; cos(2x) ; 1/2*(cos(6x)+cos(2x)) ; [[0|5|-1|1]] ~plot~