Spurpunkte: Berechnen der Koordinaten mit z-Achse

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Koordinaten dreier Punkte der Ebene E: P1: (2|3|3), P2: (2|-2|8), P3: (8|-3|3). Berechnen der Koordinaten des Spurpunktes der Ebene E mit der z-Achse.

Problem/Ansatz:

Das Problem ist ich weiß nicht, wie ich das berechnen kann

Meine bisheriger Versuch:

\( E: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ -5 \\ s\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}6 \\ -6 \\ 0\end{array}\right) \)

\(\quad \quad \quad (\overrightarrow{O A}) \quad \quad \quad(\overrightarrow{A B}) \quad \quad \quad \quad \quad(\overrightarrow{A C}) \)

S_{xy}: \( \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ -5 \\ 5\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}6 \\ -6 \\ 0\end{array}\right) \)

(I) \( x=2+0 r+6 s \)
(ii) \( y=3+(-5 r)+(-6 s) \)
(IIi) \( 0=3+s r+0 s \)

Answer 1

Der Spurpunkt der Ebene \(E\) mit der z-Achse ist \((0|0|z)\), nicht \((x|y|0)\).

Answer 2

Aloha :)

Die Ebenengleichung hast du korrekt aufgestellt:$$E\colon\vec x=\begin{pmatrix}2\\3\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\-5\\5\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}6\\-6\\0\end{pmatrix}$$

Der Spurpunkt der Ebene mit der \(z\)-Achse hat die Koordinaten \(S(0|0|x_3)\).

Für die \(x_1\)-Koordinate heißt das:$$0\stackrel!=2+r\cdot0+s\cdot6=2+6s\implies s=-\frac13$$

Für die \(x_2\)-Koordinate heißt das weiter:$$0\stackrel!=3+r\cdot(-5)+s\cdot(-6)=3-5r+2=5-5r\implies r=1$$

Der gesuchte Spurpunkt ist daher:\(\quad S(0|0|8)\).