Schreib doch erst einmal die Funktion auf mit Hilfe der gegebenen Definition der Indikatorfunktion:
\( f_n(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sqrt{n} \sin (n x) & x \in \left[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right] \\ 0 & \text { sonst } \end{array}\right. \)
D.h, für beliebiges festes \(x \neq 0\) finden wir eine natürliche Zahl \(N_x >\frac 1{|x|}\), so dass für \(n\geq N_x \) gilt
$$x\not \in \left[-\frac{1}{N_x}, \frac{1}{N_x}\right] \supseteq \left[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right] $$
Da außerdem \(f_n(0) = 0\) ist, haben wir für alle \(x\in \mathbb R\)
$$\lim_{n\to\infty} f_n(x) = 0$$
Die Folge ist also punktweise konvergent gegen die Nullfunktion.
Die Konvergenz kann aber nicht gleichmäßig sein. Denn angenommen, \(f_n \) wäre gleichmäßig konvergent, dann wäre diese Folge in der gleichmäßigen Norm beschränkt:. D.h., es müsste gelten \(||f_n||_{\infty}<C\) für alle n für ein geeignetes \(C>0\).
Nun gilt aber
$$||f_n||_{\infty} = \sup_{x\in \mathbb R}|f_n(x)| = \sqrt n \sin 1\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\infty$$
Damit kann die Folge \(||f_n||_{\infty}\) nicht beschränkt sein und somit kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein.
