Muss man hier mit Binomialverteilung berechnen?

Question

Aufgabe:

Ein Abnehmer kauft Produkte von zwei verschiedenen Lieferanten. Bei Lieferant B liegt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Einzelstück defekt ist, bei 0.1. Die Produkte von Lieferant A werden einer Eingangsprüfung unterzogen, die zu \( 10 \% \) positiv ausfällt. Im Fall einer positiven Eingangsprüfung werden zusätzliche Maßnahmen getroffen, aber aus Erfahrung ist bekannt, dass dann die Wahrscheinlichkeit für eine defektes Stück bei 80\% liegt, im Falle einer negativen Eingangsprüfung bei 2\%. Es werden 200 Stück von Lieferant B und 200 Stück von Lieferant A gekauft. Was ist die erwartete Anzahl an defekten Stücken?

Problem/Ansatz:

Muss ich hier mit binominal Verteilung berechnen?

Comments

Muss ich hier mit binominal Verteilung berechnen?

Die Binomialverteilung hat nur zwei "n" und nur ein Wort.

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Um diese Verteilung geht es hier nicht.

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Um diese Verteilung geht es hier nicht.

Doch.
Die Anzahl X defekter Stücke wird als binomialverteilt angenommen.
Um deren erwartete Anzahl in einer Lieferung von B zu bestimmen, berechnet man mit n = 200 und p = 0,1 den Erwartungswert zu   E(X) = n·p = 20.

Answer 1

Aloha :)

Aus dem Text entnehmen wir:$$p(\text{B defekt})=0,1$$$$p(\text{A Prüfung pos})=0,1$$$$p(\text{A defekt}\big|\text{A Prüfung pos})=\frac{P(\text{A defekt UND A Prüfung pos})}{P(\text{A Prüfung pos})}=0,8$$$$p(\text{A defekt}\big|\text{A Prüfung neg})=\frac{P(\text{A defekt UND Prüfung neg})}{P(\text{A Prüfung neg})}=0,02$$

Wir bestimmen die Wahrscheinlichkeit, dass Lieferant A ein defektes Gerät liefert:

$$p(\text{A defekt UND A Prüfung pos})=0,8\cdot P(\text{Prüfung pos})=0,8\cdot0,1=0,08$$$$p(\text{A defekt UND A Prüfung neg})=0,02\cdot P(\text{Prüfung neg})=0,02\cdot(1-0,1)=0,018$$

Die Summe von beiden Wahrscheinlichkeiten ergibt:$$p(\text{A defekt})=0,08+0,018=0,098$$

Wenn nun \(n=200\) Geräte bei jedem Lieferanten bestellt werden, erwarten wir:

$$\text{\# defekte Geräte bei A}=n\cdot p(\text{A defekt})=200\cdot0,098=19,6$$$$\text{\# defekte Geräte bei B}=n\cdot p(\text{B defekt})=200\cdot0,1=20$$

Lieferant A ist also etwas besser als Lieferant B.

Comments

Ich sehe keinen Unterschied zw. A und B.

Kannst du ihn mir bitte erklären?

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Was verstehst du an meiner Rechnung denn nicht?

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Wo ist mein Denkfehler? Was interpretiere ich falsch?

Die Abweichung ist minimal.

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Bei B ist die Wahrscheinlichkeit (0,1) für einen Defekt direkt angegben. Die Geräte von B werden keiner weiteren Eingangsprüfung unterzogen.

Bei A haben wir zwei bedingte Wahrscheinlichkeiten angegeben:

Eingangsprüfung positiv (0,1), dann Gerät defekt mit Wahrscheinlichkeit 0,8.

Eingangsprüfung negativ (0,9), dann Gerät defekt mit Wahrscheinlichkeit 0,02.

Macht zusammen \(0,1\cdot0,8+0,9\cdot0,02=0,098\) Defekt-Wahrscheinlichkeit bei A

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Ich beziehe das auf beide:

Im Fall einer positiven Eingangsprüfung werden zusätzliche Maßnahmen getroffen, aber aus Erfahrung ist bekannt, dass dann die Wahrscheinlichkeit für eine defektes Stück bei 80\% liegt, im Falle einer negativen Eingangsprüfung bei 2\%.

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Die Produkte von Lieferant A werden einer Eingangsprüfung unterzogen,

Lieferant B wird keiner Eingangsprüfung unterzogen.

Answer 2

400*´(0,1*0,8+0,9*0,02) = 39,2

Offenbar gibt es keinen Unterschied zwischen A und B. Ungewöhlich.