Löse durch Zerlegung in 3 Faktoren

Question

Löse \( \sqrt{x\sqrt{x}-x} \)+\( \sqrt{x} \)=x durch Zerlegung in 3 Faktoren mit anschließendem Satz vom Nullprodukt.

Comments

Was meinst Du genau? Die Operation |² ?

Ich wüsste gar nicht, wie man es anders machen sollte :D.

Mit einmal den zweiten Summanden nach rechts zu bringen, quadrieren und einer kleinen Substitution, komme ich "straight forward" auf x₁ = 0, x₂ = 1 und x₃ = 4.

Erste beide Lösungen kann man auch direkt ablesen...ohne überhaupt zu quadrieren ;).

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Mit einmal den zweiten Summanden nach rechts zu bringen, quadrieren und einer kleinen Substitution, komme ich auf eine Gleichung mit einer Wurzel. Wie löst du diese "straight forward"?

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Das war die Substitution:

x-3√x+2 = 0 |Subst

u²-3u+2 = 0  |pq-Formel

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Was war nun eigentlich die von Dir gewünschte/gesuchte Antwort? :)

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Was war nun eigentlich die von Dir gewünschte/gesuchte Antwort? :)

Answer 1

$$\sqrt{x \cdot \sqrt{x} - x} + \sqrt{x} = x \newline \sqrt{x \cdot (\sqrt{x} - 1)} + \sqrt{x} - x = 0 \newline \sqrt{x} \cdot \sqrt{\sqrt{x} - 1} + \sqrt{x} \cdot (1 - \sqrt{x}) = 0 \newline \sqrt{x} \cdot (\sqrt{\sqrt{x} - 1} + (1 - \sqrt{x})) = 0 \newline \sqrt{x} \cdot \sqrt{\sqrt{x} - 1} \cdot (1 - \sqrt{\sqrt{x} - 1}) = 0$$

Also

√x = 0 → x = 0
√(√x - 1) = 0 → x = 1
1 - √(√x - 1) = 0 → x = 4

Answer 2

Klar ist \(x\geq 0\).

Ferner "sieht man sofort", dass \(x=0\) eine Lösung ist.

Sei nun also \(x>0\) und \(y:=\sqrt{x}\).

Dann geht die gegebene Gleichung über in:

\(y\sqrt{y-1}=y(y-1)\). Wegen \(y>0\) folgt

\(\sqrt{y-1}=y-1\), also \(y-1=(y-1)^2\),

folglich \(y-1=0\), d.h. \(y=1\), also \(x=1\), oder

\(y-1=1\), d.h. \(y=2\), also \(x=2^2=4\).

Insgesamt haben wir 3 Lösungen: \(\{0,1,4\}\).

Comments

Deine Substitution versteckt ein Quadrieren. So ist meine Aufgabe nicht gemeint.

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Dann eben so:

\(\sqrt{x}\sqrt{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)\).

Für \(x\neq 0\) und \(x\neq 1\) hat man dann

\(\sqrt{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}-1=\sqrt{\sqrt{x}-1}^2\), also

\(1=\sqrt{x}-1\), d.h. \(\sqrt{x}=2\) und durch

Quadrieren \(x=4\).

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Das hab ich gerade auch so gemacht! :)

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Für \(x\neq 0\) und \(x\neq 1\) hat man dann\(\sqrt{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}-1=\sqrt{\sqrt{x}-1}^2\), erstes Quadrieren . also \(1=\sqrt{x}-1\), d.h. \(\sqrt{x}=2\) und durch zweites Quadrieren \(x=4\).  

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Das "erste Quadrieren" ist kein solches, sondern
nur Hinschreiben der IDENTITÄT \(a=(\sqrt{a})^2\).
Hierbei geschieht nichts und es wird auch nichts versteckt.

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Dann muss ich meine Frage wohl anders formulieren.

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In der Aufgabe steht: "zerlege in 3 Faktoren", also erst zerlegen und dann lösen.

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Wie Roland in seinem Vorkommentar deutlich gemacht hat, hatte er die Aufgabenstellung modifziert.

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Ich hatte es so verstanden, dass man den Term in

$$(f(x)+a) (g(x)+b) (h(x)+c) = 0$$ umformen soll.

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Ja. Das ist Rolands neu formuliertes Problem.
Meine Lösung bezog sich auf die Vorgängerversion.

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Ich hatte es so verstanden, dass man den Term in $$(f(x)+a) (g(x)+b) (h(x)+c) = 0$$ umformen soll.

Ja - wobei nach der Zerlegung$$\begin{aligned} \sqrt{x\sqrt{x}-x}+ \sqrt{x} &= x &&|\,-x\\ \sqrt{x\sqrt{x}-x} -(x - \sqrt{x}) &= 0 \\ \sqrt{x}\left( \sqrt{\sqrt{x}-1} -(\sqrt{x}-1)\right) &= 0 \\ \sqrt{x}\sqrt{\sqrt{x}-1}\left( 1 -\sqrt{\sqrt{x}-1}\right) &= 0 \\ \end{aligned}$$... muss man streng genommen in Summe mehr als 2-mal quadrieren um dann die drei Lösungen zu berechnen; auch wenn das z.B. bei \(\sqrt{x}=0\) ziemlich trivial ist.

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Deine Faktorenzerlegung ist richtig. Irgendwie gelingt es mir nicht, zu klären, was genau Quadrieren bedeuten soll. Die Anwendung des Satzes: 'Eine Wurzel ist genau dann gleich Null, wenn ihr Radikand gleich Null ist.' soll zum Beispiel nicht als Quadrieren gelten.

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War die Erlaubnis, ins Komlexe gehen zu dürfen, so ohne Weiteres klar ?

Answer 3

\( \sqrt{x*\sqrt{x}-x}+\sqrt{x}=x \)

\( \sqrt{x*(\sqrt{x}-1})=x-\sqrt{x} \)

Einschub:

\(x-\sqrt{x}=\sqrt{x}*(\sqrt{x}-1) \)

\( \sqrt{x}*\sqrt{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}*(\sqrt{x}-1)\)

\( \sqrt{x}*\sqrt{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x}*(\sqrt{x}-1)=0\)

\( \sqrt{x}*(\sqrt{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x}+1)=0\)

I.)\( \sqrt{x}=0 \)→ \( x=0 \)

\( \sqrt{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x}+1=0\)

\( \sqrt{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}-1  |^2\)

\( \sqrt{x}-1=x-2*\sqrt{x}+1 \)

\( 3*\sqrt{x}=x+2  |^2 \)

\(x^2+4x+4=9x \)

\(x^2-5x=-4  \)

\((x-2,5)^2=-4+6,25 =2,25   |\sqrt{~~}\)

1.)\(x-2,5 =1,5 \)

\(x_1 =4 \)

2.)\(x-2,5 =-1,5 \)

\(x_2 =1 \)

Comments

Ist ja alles richtig. Aber wo ist die Zerlegung in drei Faktoren?

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\( \sqrt{x}*[\sqrt{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x}+1]=0\)

\( [\sqrt{x}]*[\sqrt{x}-1]*[  \frac{\sqrt{\sqrt{x}-1}}{\sqrt{x}-1} -1]=0\)

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Schau mal in den Kommentar von Werner Salomon.

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Ich habe den Term unter der Wurzel ausgeklammert, während Werner Salomon den "Doppelwurzelterm" ausgeklammert hat. Macht das nun einen großen Unterschied?

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Wie ich oben schon bemerkt habe, sind das alles keine Lösungen in ℝ.

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Wie ich oben schon bemerkt habe, sind das alles keine Lösungen in ℝ.

Ich setze mal die gefundenen Lösungen ein:

\( f(x)=\sqrt{x*\sqrt{x}-x}+\sqrt{x}-x \)

\( f(0)=\sqrt{0*\sqrt{0}-0}+\sqrt{0}-0= 0\)✓

\( f(1)=\sqrt{1*\sqrt{1}-1}+\sqrt{1}-1= 0\)✓

\( f(4)=\sqrt{4*\sqrt{4}-4}+\sqrt{4}-4 =0\)✓

Deine Aussage ist mir unverständlich.

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Mit "Lösungen" meinte ich Lösungen des Problems einer Produktdarstellung, nicht Lösungen der Gleichung.
Bei WS und bei dir sind die Terme für R.s Lösung x=0 nur in ℂ aber nicht in ℝ definiert, dein Term für die Lösung x=1 sogar überhaupt nicht.

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Wo braucht man da komplexe Zahlen?

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Wo braucht man da komplexe Zahlen?

Offensichtlich doch wohl zum Berechnen von \(\sqrt{\sqrt{x}-1}\) für x=0.

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Wenn im Laufe der Faktorenzerlegung Terme entstehen, die in Bezug auf die spätere reelle Lösung komplex sind, bleiben die Lösungen dennoch reell. Genau dieser Sachverhalt hatte Bombelli zu den komplexen Zahlen geführt.

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Eben.

B. braucht komplexe Zahlen und genau das habe ich auch für den oben genannten Term festgestellt.

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Deine Beiträge in diesem Forum sind oft recht kryptisch. Dann wirst du leider manchmal nicht verstanden.

Answer 4

Die Lösungen x=0 und x= 1 kann man sehen.

Comments

Gibt es eine weitere Lösung?