Löse durch Zerlegung in 3 Faktoren

Question 1

Löse $ \sqrt{x\sqrt{x}-x} $+$ \sqrt{x} $=x durch Zerlegung in 3 Faktoren mit anschließendem Satz vom Nullprodukt.

Question 2

Was meinst Du genau? Die Operation |² ?

Ich wüsste gar nicht, wie man es anders machen sollte :D.

Mit einmal den zweiten Summanden nach rechts zu bringen, quadrieren und einer kleinen Substitution, komme ich "straight forward" auf x₁ = 0, x₂ = 1 und x₃ = 4.

Erste beide Lösungen kann man auch direkt ablesen...ohne überhaupt zu quadrieren ;).

Question 3

Mit einmal den zweiten Summanden nach rechts zu bringen, quadrieren und einer kleinen Substitution, komme ich auf eine Gleichung mit einer Wurzel. Wie löst du diese "straight forward"?

Question 4

Das war die Substitution:

x-3√x+2 = 0 |Subst

u²-3u+2 = 0 |pq-Formel

Question 5

Was war nun eigentlich die von Dir gewünschte/gesuchte Antwort? :)

Question 6

Was war nun eigentlich die von Dir gewünschte/gesuchte Antwort? :)

Question 7

$$\sqrt{x \cdot \sqrt{x} - x} + \sqrt{x} = x \newline \sqrt{x \cdot (\sqrt{x} - 1)} + \sqrt{x} - x = 0 \newline \sqrt{x} \cdot \sqrt{\sqrt{x} - 1} + \sqrt{x} \cdot (1 - \sqrt{x}) = 0 \newline \sqrt{x} \cdot (\sqrt{\sqrt{x} - 1} + (1 - \sqrt{x})) = 0 \newline \sqrt{x} \cdot \sqrt{\sqrt{x} - 1} \cdot (1 - \sqrt{\sqrt{x} - 1}) = 0$$

Also

√x = 0 → x = 0
√(√x - 1) = 0 → x = 1
1 - √(√x - 1) = 0 → x = 4

Question 8

Klar ist $x\geq 0$.

Ferner "sieht man sofort", dass $x=0$ eine Lösung ist.

Sei nun also $x>0$ und $y:=\sqrt{x}$.

Dann geht die gegebene Gleichung über in:

$y\sqrt{y-1}=y(y-1)$. Wegen $y>0$ folgt

$\sqrt{y-1}=y-1$, also $y-1=(y-1)^2$,

folglich $y-1=0$, d.h. $y=1$, also $x=1$, oder

$y-1=1$, d.h. $y=2$, also $x=2^2=4$.

Insgesamt haben wir 3 Lösungen: $\{0,1,4\}$.

Question 9

Deine Substitution versteckt ein Quadrieren. So ist meine Aufgabe nicht gemeint.

Question 10

Dann eben so:

$\sqrt{x}\sqrt{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)$.

Für $x\neq 0$ und $x\neq 1$ hat man dann

$\sqrt{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}-1=\sqrt{\sqrt{x}-1}^2$, also

$1=\sqrt{x}-1$, d.h. $\sqrt{x}=2$ und durch

Quadrieren $x=4$.

Question 11

Das hab ich gerade auch so gemacht! :)

Question 12

Für $x\neq 0$ und $x\neq 1$ hat man dann$\sqrt{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}-1=\sqrt{\sqrt{x}-1}^2$, erstes Quadrieren . also $1=\sqrt{x}-1$, d.h. $\sqrt{x}=2$ und durch zweites Quadrieren $x=4$.

Question 13

Das "erste Quadrieren" ist kein solches, sondern
nur Hinschreiben der IDENTITÄT $a=(\sqrt{a})^2$.
Hierbei geschieht nichts und es wird auch nichts versteckt.

Question 14

Dann muss ich meine Frage wohl anders formulieren.

Question 15

In der Aufgabe steht: "zerlege in 3 Faktoren", also erst zerlegen und dann lösen.

Question 16

Wie Roland in seinem Vorkommentar deutlich gemacht hat, hatte er die Aufgabenstellung modifziert.

Question 17

Ich hatte es so verstanden, dass man den Term in

$$(f(x)+a) (g(x)+b) (h(x)+c) = 0$$ umformen soll.

Question 18

Ja. Das ist Rolands neu formuliertes Problem.
Meine Lösung bezog sich auf die Vorgängerversion.

Question 19

Ich hatte es so verstanden, dass man den Term in $$(f(x)+a) (g(x)+b) (h(x)+c) = 0$$ umformen soll.

Ja - wobei nach der Zerlegung$$\begin{aligned} \sqrt{x\sqrt{x}-x}+ \sqrt{x} &= x &&|\,-x\\ \sqrt{x\sqrt{x}-x} -(x - \sqrt{x}) &= 0 \\ \sqrt{x}\left( \sqrt{\sqrt{x}-1} -(\sqrt{x}-1)\right) &= 0 \\ \sqrt{x}\sqrt{\sqrt{x}-1}\left( 1 -\sqrt{\sqrt{x}-1}\right) &= 0 \\ \end{aligned}$$... muss man streng genommen in Summe mehr als 2-mal quadrieren um dann die drei Lösungen zu berechnen; auch wenn das z.B. bei $\sqrt{x}=0$ ziemlich trivial ist.

Question 20

Deine Faktorenzerlegung ist richtig. Irgendwie gelingt es mir nicht, zu klären, was genau Quadrieren bedeuten soll. Die Anwendung des Satzes: 'Eine Wurzel ist genau dann gleich Null, wenn ihr Radikand gleich Null ist.' soll zum Beispiel nicht als Quadrieren gelten.

Question 21

War die Erlaubnis, ins Komlexe gehen zu dürfen, so ohne Weiteres klar ?

Question 22

$ \sqrt{x*\sqrt{x}-x}+\sqrt{x}=x $

$ \sqrt{x*(\sqrt{x}-1})=x-\sqrt{x} $

Einschub:

$x-\sqrt{x}=\sqrt{x}*(\sqrt{x}-1) $

$ \sqrt{x}*\sqrt{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}*(\sqrt{x}-1)$

$ \sqrt{x}*\sqrt{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x}*(\sqrt{x}-1)=0$

$ \sqrt{x}*(\sqrt{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x}+1)=0$

I.)$ \sqrt{x}=0 $→ $ x=0 $

$ \sqrt{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x}+1=0$

$ \sqrt{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}-1 |^2$

$ \sqrt{x}-1=x-2*\sqrt{x}+1 $

$ 3*\sqrt{x}=x+2 |^2 $

$x^2+4x+4=9x $

$x^2-5x=-4 $

$(x-2,5)^2=-4+6,25 =2,25 |\sqrt{~~}$

1.)$x-2,5 =1,5 $

$x_1 =4 $

2.)$x-2,5 =-1,5 $

$x_2 =1 $

Question 23

Ist ja alles richtig. Aber wo ist die Zerlegung in drei Faktoren?

Question 24

$ \sqrt{x}*[\sqrt{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x}+1]=0$

$ [\sqrt{x}]*[\sqrt{x}-1]*[ \frac{\sqrt{\sqrt{x}-1}}{\sqrt{x}-1} -1]=0$

Question 25

Schau mal in den Kommentar von Werner Salomon.

Question 26

Ich habe den Term unter der Wurzel ausgeklammert, während Werner Salomon den "Doppelwurzelterm" ausgeklammert hat. Macht das nun einen großen Unterschied?

Question 27

Wie ich oben schon bemerkt habe, sind das alles keine Lösungen in ℝ.

Question 28

Wie ich oben schon bemerkt habe, sind das alles keine Lösungen in ℝ.

Ich setze mal die gefundenen Lösungen ein:

$ f(x)=\sqrt{x*\sqrt{x}-x}+\sqrt{x}-x $

$ f(0)=\sqrt{0*\sqrt{0}-0}+\sqrt{0}-0= 0$✓

$ f(1)=\sqrt{1*\sqrt{1}-1}+\sqrt{1}-1= 0$✓

$ f(4)=\sqrt{4*\sqrt{4}-4}+\sqrt{4}-4 =0$✓

Deine Aussage ist mir unverständlich.

Question 29

Mit "Lösungen" meinte ich Lösungen des Problems einer Produktdarstellung, nicht Lösungen der Gleichung.
Bei WS und bei dir sind die Terme für R.s Lösung x=0 nur in ℂ aber nicht in ℝ definiert, dein Term für die Lösung x=1 sogar überhaupt nicht.

Question 30

Wo braucht man da komplexe Zahlen?

Question 31

Wo braucht man da komplexe Zahlen?

Offensichtlich doch wohl zum Berechnen von $\sqrt{\sqrt{x}-1}$ für x=0.

Question 32

Wenn im Laufe der Faktorenzerlegung Terme entstehen, die in Bezug auf die spätere reelle Lösung komplex sind, bleiben die Lösungen dennoch reell. Genau dieser Sachverhalt hatte Bombelli zu den komplexen Zahlen geführt.

Question 33

Eben.

B. braucht komplexe Zahlen und genau das habe ich auch für den oben genannten Term festgestellt.

Question 34

Deine Beiträge in diesem Forum sind oft recht kryptisch. Dann wirst du leider manchmal nicht verstanden.

Question 35

Die Lösungen x=0 und x= 1 kann man sehen.

Question 36

Gibt es eine weitere Lösung?

Der_Mathecoach · Answer 1 · 2023-04-02T00:54:23+0000

$$\sqrt{x \cdot \sqrt{x} - x} + \sqrt{x} = x \newline \sqrt{x \cdot (\sqrt{x} - 1)} + \sqrt{x} - x = 0 \newline \sqrt{x} \cdot \sqrt{\sqrt{x} - 1} + \sqrt{x} \cdot (1 - \sqrt{x}) = 0 \newline \sqrt{x} \cdot (\sqrt{\sqrt{x} - 1} + (1 - \sqrt{x})) = 0 \newline \sqrt{x} \cdot \sqrt{\sqrt{x} - 1} \cdot (1 - \sqrt{\sqrt{x} - 1}) = 0$$

Also

√x = 0 → x = 0
√(√x - 1) = 0 → x = 1
1 - √(√x - 1) = 0 → x = 4

Löse durch Zerlegung in 3 Faktoren

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