Bestimmen Sie ker(P ) und im(P ). Zeigen Sie explizit, dass ℝ^3 = im(P ) ⊕ ker(P)

Question

Aufgabe:

Sei V = ℝ³. Wir betrachten die lineare Abbildung P: ℝ³→ℝ³, (x,y,z) ↦ (x, y, -y).

d) Bestimmen Sie ker(P ) und im(P ). Zeigen Sie explizit, dass ℝ³ = im(P ) ⊕ ker(P)

e) Berechnen Sie det(P).

f) Berechnen Sie die Eigenwerte λ ∈ ℝ von P und bestimmen Sie die zugehörigen
Eigenräume E_λ.

Problem/Ansatz:

d) ker(P) = { (0,0,z) } oder?

Erstmal eine wichtige allgemeine Frage dazu: (0,0,0) ergibt ja auch den Nullvektor, zählt man den dann auch noch zum kern oder ist (0,0,0) nur Kern, wenn kein anderer kern existiert?

im(P) = { (x,y,-y) } oder?

Was ist jetzt mit "Zeigen Sie:  ℝ³ = im(P ) ⊕ ker(P)" gemeint? Mir kommt da in den Sinn, dass ich ein e 3x3-Matrix aus im(P ) ⊕ ker(P) erstellen muss, der ich dann lineare Unabhängigkeit nachweisen muss, um zu zeigen dass sie =  ℝ³ ist.

e) Wie soll ich hier jetzt die Determinante berechnen? Aus welchen Vektoren setzt sich denn die benötigte Matrix zusammen?

f) Sollte ich mit einer Matrix dann hinbekommen...

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank für die Hilfe!

Answer 1

Wie soll ich hier jetzt die Determinante berechnen? Aus welchen Vektoren setzt sich denn die benötigte Matrix zusammen?

In den Spalten der Matrix stehen die Bilder der Einheitsvektoren,

also \(P(e_1),P(e_2),P(e_3)\).

Die Determinante kannst du sofort angeben ohne die Matrix zu kennen.

Zu d):

Es ist \((x,y,z)=P(x,y,z)+(0,0,z+y)\).