Zeigen Sie V = ker(f) ⊕ im(f).

Question

Aufgabe:

Sei f:V→V ein idempotenter Endomorphismus. Zeigen Sie V = ker(f) ⊕ im(f).

Comments

1. v=v-f(v)+f(v)

2. w=f(v) ∈ Kern(f)∩Bild(f) => 0=f(w)=f(fv))=f(v)

Answer 1

Es ist also f:V→V  ein Endomorphismus mit fof=f.

Bleibt zu zeigen, dass  für jedes v∈V gilt:

Es gibt ein u∈Ker(f) und ein w∈Im(f) mit v= u+w

Sei v∈V, dann ist w=f(v)∈Im(f) und u=v-f(v) ∈ Ker(f),

weil f(v-f(v)) = f(v) - f(f(v)) = f(v)-f(v) = 0.

Also ist jedenfalls V die Summe aus Ker(f) und Im(f).

Diese ist direkt, da nur der Nullvektor in Ker(f) ∩ Im(f) ist;

denn v∈Ker(f) ∩ Im(f) bedeutet ja

        f(v) = 0 und es gibt ein u∈V mit f(u)=v.

    Und wegen der Idempotenz ist f(f(u)) = f(u) = v ,

      also v=0.