Zeigen Sie: V= Bild(L1) ⊕ Bild( L2)

Question

Sei V ein Vektorraum und seien L₁ , L₂  : V →V lineare Abbildungen mit den Eigenschaften:

      i) L₁ ο L₁ = L₁ ,     L₂ ο L₂ = L₂
      ii)  L₁ + L₂ = id.

    iii) L₁ ο L₂ = 0 = L₂ ο L₁ .
Zeigen Sie: V= Bild(L₁) ⊕ Bild( L₂)

Ich glaube das ⊕ steht für die direkte Summe...

Danke schon mal:)

Answer 1

Nach (ii) gilt für alle \(v\in V\): \(v=id(v)=(L_1+L_2)(v)=L_1(v)+L_2(v)\in Bild(L_1)+Bild(L_2)\), also

\(V=Bild(L_1)+Bild(L_2).\quad \)

Zu zeigen bleibt \(Bild(L_1)\cap Bild(L_2)=\{0\}\):

Sei \(v\in Bild(L_1)\cap Bild(L_2)\). Dann gibt es \(v_1,v_2\in V\) mit

\(L_1(v_1)=v=L_2(v_2)\). Hieraus folgt:

\(0=(L_2\circ L_1)(v_1)=L_2(L_1(v_1))=L_2(L_2(v_2))=(L_2\circ L_2)(v_2)=L_2(v_2)=v\),

q.e.d.