Zeige die folgende Aussage: U ⊕ V = Km

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper, M eine nichtleere Menge, und x ∈ M . Wir betrachten
den K-Vektorraum K^m der Abbildungen von M nach K und die Unterräume
U = {f ∈ KM | f (x) = 0}
V = {f ∈ KM | ∀a, b ∈ M : f (a) = f (b)}
von K^m. Zeige die folgende Aussage:

U ⊕ V = K^m

Problem/Ansatz:

Guten Tag,

Ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie ich an diese Aufgabe ran gehen soll. Versuche es schon seit Gestern, komme aber nicht weiter. Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.

Im Grunde müsste ich lediglich zeigen, dass U + V = K^m ergibt, oder nicht?

LG

Comments

Du meinst sicher $K^M$ und nicht $K^m$, oder?

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Ja genau ich meine $K^M$.

Answer 1

Im Grunde müsste ich lediglich zeigen, dass U + V = K^m ergibt, oder nicht?

Schreibe besser U + V = K^M und außerdem zeige U ∩ V = {0-Abbildung} ,

weil es ja eine DIREKTE Summe sein soll.

Comments

Stimmt. Ich weiß jetzt nur nicht wie man das vernünftig beweisen kann. Könntest du vielleicht den Anfang des Beweis aufschreiben?

LG

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Ich denke mit der Summe geht das so:

Sei also h:M→K so ein Element aus K^M .

Dann musst du zeigen: Es gibt ein f∈U und ein g∈V mit h=f+g,

also dass für alle m∈M gilt h(m)=f(m)+g(m).

Nun kommt das fest vorgegebene x∈M ins Spiel:

1. Fall  h(x)=0 . ==>   h∈U , also ist für alle m∈M gilt h(m)=f(m)+g(m)

erfüllt, wenn man für g die 0-Abbildung O wählt. Die ist in V, weil ja

für alle m∈M gilt O(m)=0 , also ∀a, b ∈ M : O(a) = O(b).

2. Fall   h(x)=y≠0 . ==>  Dann betrachte die Abbildung g:M→K

mit g(m)=y für alle m∈M.  Die ist sicherlich in V.

Und Abbildung  d:M→K   mit d(m)= h(m)-y gehört zu U,

da ja d(x)= h(x)-y=0 ist.  Und  h(m)=d(m)+g(m)

ist für alle m∈ M erfüllt, weil

h(m) =  d(m)+g(m) =  h(m)-y + g(m) = h(m) - 0    falls f(m)≠0

und h(m) =   h(x)-y + g(m) = 0 + g(m) = y = h(m)  falls f(m)=0.

Answer 2

Für ein $a\in K$ sei $\widehat{a}$ die konstante Funktion $M\rightarrow K$

mit $\widehat{a}(z)=a \; \forall z \in M$.

Betrachte $g:=f-\widehat{f(x)}$. Diese Funktion liegt in $U$ und

$h:=f-g=\widehat{f(x)}$ liegt in $V$ und es ist nun $f=g+h$.