Ich denke mit der Summe geht das so:
Sei also h:M→K so ein Element aus KM .
Dann musst du zeigen: Es gibt ein f∈U und ein g∈V mit h=f+g,
also dass für alle m∈M gilt h(m)=f(m)+g(m).
Nun kommt das fest vorgegebene x∈M ins Spiel:
1. Fall h(x)=0 . ==> h∈U , also ist für alle m∈M gilt h(m)=f(m)+g(m)
erfüllt, wenn man für g die 0-Abbildung O wählt. Die ist in V, weil ja
für alle m∈M gilt O(m)=0 , also ∀a, b ∈ M : O(a) = O(b).
2. Fall h(x)=y≠0 . ==> Dann betrachte die Abbildung g:M→K
mit g(m)=y für alle m∈M. Die ist sicherlich in V.
Und Abbildung d:M→K mit d(m)= h(m)-y gehört zu U,
da ja d(x)= h(x)-y=0 ist. Und h(m)=d(m)+g(m)
ist für alle m∈ M erfüllt, weil
h(m) = d(m)+g(m) = h(m)-y + g(m) = h(m) - 0 falls f(m)≠0
und h(m) = h(x)-y + g(m) = 0 + g(m) = y = h(m) falls f(m)=0.