Question

Konstruieren Sie Unterräume U,V ⊆ ℝ³ mit den folgenden Eigenschaften 

a) U ⊕ V = ℝ³

b) U + V = ℝ³, aber U + V ≠ U ⊕ V

c) U + V ≠ ℝ³

Comments

Unterschied zwischen U + V und U ⊕ V 

Es soll für die Unterräume U,V von ℝ³ gelten:

U + V = ℝ³, aber U + V ≠ U ⊕ V

Answer 1

Den Unterschied zwischen U+V und U⊕V kannst du herausfinden indem du dir die Definitionen von U+V und U⊕V in deinen Unterlagen durchliest.

Comments

Diese Antwort müsste eigentlich ein Kommentar sein.

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Darüber habe ich nachgedacht, als ich die Antwort geschrieben habe. Ich habe mich dagegen entschieden, weil die Antwort einen Lösungsweg aufzeigt und der Lösungsweg leicht alleine gegangen werden kann.

Ich glaube nicht, dass es unsere Aufgabe ist, jedes kleinste Detail des Lösungsweges auszuarbeiten; schon gar nicht, wenn es um Stoff jenseits der Sekundarstufe geht.

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Diese Antwort hilft dem Fragesteller jedenfalls nicht weiter.

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Lu hat einen konstruktiven Beitrag zu der gleichen Frage unter

https://www.mathelounge.de/350010/konstruieren-unterraume-mit-den-folgenden-eigenschaften

geschrieben.

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In der von dir genannten Frage geht es nicht - wie hier - darum, den Unterschied zwischen U+V und U⊕V zu begreifen. Es geht darum, diesen Unterschied auszunutzen um weiterführende Aufgaben zu lösen. Das ist ein ganz anderes Problem. Und auch Lu hat auf die fehlende Einheitlichkeit in der Notation hingewiesen.

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Der Kontext macht bei genauerer Überlegung klar, auf welche Frage der Fragesteller eine Antwort sucht.

Es lässt sich übrigens sehr leicht erkennen, welche Operation mit dem Kreis-Plus nur gemeint sein kann.

Answer 2

Hier mal a) unter der Annahme, dass dein Plus so definiert ist, wie ich mir das denke. https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Direkte_Summe und https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Grunds.C3.A4tzliches_und_Definition

Sonst bitte mal eure Definitionen raussuchen.

a) U = { (x,y,z) ∈ R^3 |  x+y = 0 } und V = { (x,y,z) ∈ R^3 | z=0 }

b) Vielleicht U = { (x,y,z) ∈ R^3 |  x = 0 } und V = { (x,y,z) ∈ R^3 | y=z=0 }   ?

c) U = { (x,y,z) ∈ R^3 |  x=y = 0 } und V = { (x,y,z) ∈ R^3 | y= z=0 }

Comments

Bei b) gilt leider genau, dass \( U + V \) eine direkte Summe \( U \oplus V \) ist.

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Danke für den Hinweis. Kann man irgendwas Teilräumen von Q^3 machen? Oder, weisst du was gemeint ist mit + ?

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Also ich verstehe jetzt nicht, was du meinst, aber bei deinem Beispiel b) würde es schon reichen, bei \( V = \{ \dots \} \) statt \( y = z = 0 \) nur \( y = 0 \) zu schreiben. Dann wäre  \( U + V \) keine direkte Summe \( U \oplus V \).

Mit "\( + \)" ist meines Erachtens nur die Menge aller Linearkombinationen von Elementen von \( U \) und \( V \) gemeint.

"\( \oplus \)" heißt, dass die Operanden in einem bestimmten Sinne "disjunkt" sind, nämlich dass deren Schnitt nur den Ursprung enthält: \( U \oplus V \Leftrightarrow U \cap V = \{ 0 \} \).

Der Nullvektorraum \( \{ 0 \} \) ist das Nullobjekt in der Kategorie der Vektorräume. Siehe hier  https://de.wikipedia.org/wiki/Anfangsobjekt,_Endobjekt_und_Nullobjekt#Beispiele . Somit kann man sich eine der direkten Summe entsprechende Operation auch plausibel in anderen Kategorien vorstellen.

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Ok. Danke für die Ausführungen.

Dann meinen die mit dem Kreis wohl die innere direkte Summe. Die habe ich so nicht gekannt. Ausserdem war bei uns, wie in meinem Link immer die äussere direkte Summe gemeint.

Ich hatte mir unter + die Vereinigungsmenge vorgestellt, was dann aber bei meinem Vorschlag für b) nicht aufging.