Bestimmen Sie das Minimum der Funktion f(x,y)= x^2+8xy+6y^2 unter

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie das Minimum der Funktion f(x,y)= x^2+8xy+6y^2 unter
der Nebenbedingung x+2y=150 .

Problem/Ansatz:

Ich habe x=0 y=75 raus

f(0,75)=33750

Ist das richtig in der Lösung steht

f(50,50)=37500

Meins müsste doch realistischer sein oder ?

Answer 1

Bestimmen Sie das Maximum der Funktion \(f(x,y)= x^2+8xy+6y^2\)

unter der Nebenbedingung

\(x+2y=150\)  →\(x=150-2y\)

\(f(y)= (150-2y)^2+8*(150-2y)y+6y^2\)

\(f(y)= (150-2y)^2+8*y(150-2y)+6y^2\)

\(\frac{d f(y)}{dy}= 2*(150-2y)*(-2)+8*(150-2y)+8y*(-2)+12y\)

\( 2*(150-2y)*(-2)+8*(150-2y)+8y*(-2)+12y=0\)  → \(y=50\)

 \(x=150-2*50=50\)

Answer 2

Aloha :)

Vereinfache die Funktion unter der Nebenbediungung \((x+2y=150)\):$$f(x;y)=x^2+\green{8xy}+\pink{6y^2}=(x^2+\green{4xy}+\pink{4y^2})+(\green{4xy}+\pink{8y^2})\pink{-6y^2}$$$$\phantom{f(x;y)}=(x+2y)^2+4y(x+2y)-6y^2=150^2+600y-6y^2=150^2-6(y^2-100y)$$$$\phantom{f(x;y)}=150^2-6(\,(y^2-100y+\red{50^2})\red{-50^2})=150^2-6(\,(y-50)^2-50^2)$$$$\phantom{f(x;y)}=150^2-6(y-50)^2+6\cdot50^2=37500-6(y-50)^2$$

und du kannst das Maximum \(37500\) bei \(y=50\) ablesen.

Die Funktion \(f\) wird also bei \((x;y)=(50;50)\) maximal.