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Berechnen Sie eine Gleichung der Tangential(hyper)ebene an die Kurve f im
Punkt P und, wenn angegeben, vergleichen Sie den Funktionswert von f im Punkt
Q mit dem Wert der Tangentialebene im Punkt Q!

(a) f (x1, x2) = ln(2x − 5y+ 3), P (4, 2), Q(4.05, 2)

-> Wie würde man hier vorgehen

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Aloha :)

Wenn eine Funktion \(f(x)\) nur von einer Variablen \(x\) abhängt, kannst du die Tangente an diese Funktion im Punkt \(x_0\) wie folgt angeben:$$y(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$

Diese Tangenten-Gleichung kannst du auf Funktionen mit mehreren Variablen verallgemeinern. Für eine Funktion \(f(x;y)\) erhalten wir die Tangentialebene im Punkt \((x_0;y_0)\) so:$$z(x;y)=f(x_0;y_0)+\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\left(\binom{x}{y}-\binom{x_0}{y_0}\right)$$

Für den vorliegenden Fall ist \((x_0;y_0)=(4;2)\) und \(f(x;y)=\ln(2x-5y+3)\), sodass$$f(4;2)=\ln(8-10+3)=\ln(1)=0$$$$\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{\frac{2}{2x-5y+3}}{\frac{-5}{2x-5y+3}}\implies\operatorname{grad}f(4;2)=\binom{2}{-5}$$

Wir setzen diese Werte in die Gleichung für die Tangentialebene ein:$$z(x;y)=0+\binom{2}{-5}\cdot\left(\binom{x}{y}-\binom{4}{2}\right)=\binom{2}{-5}\binom{x-4}{y-2}=2(x-4)-5(y-2)$$$$\pink{z(x;y)=2x-5y+2}$$

Für den Punkt \(Q(4,05;2)\) lauten Funktionswert und Näherungswert:$$f(4,05;2)\approx0,0953102\quad;\quad z(4,05;2)=0,1$$

Die Funktion verläuft im Punkt \(Q\) also etwas unterhalb der Tangentialebene.

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Hi, kannst du mir hier vielleicht helfen?

f(x,y)=x.y-e^(x+2). , P(-2,9),   Q(-2,1 , 8,8)


Danke!!!

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Hallo

Das muss doch Thema der Vorlesung sein?  oder wiki sagte, aber hier noch mal

$$z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$$

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

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