Aloha :)
Wenn eine Funktion \(f(x)\) nur von einer Variablen \(x\) abhängt, kannst du die Tangente an diese Funktion im Punkt \(x_0\) wie folgt angeben:$$y(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$
Diese Tangenten-Gleichung kannst du auf Funktionen mit mehreren Variablen verallgemeinern. Für eine Funktion \(f(x;y)\) erhalten wir die Tangentialebene im Punkt \((x_0;y_0)\) so:$$z(x;y)=f(x_0;y_0)+\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\left(\binom{x}{y}-\binom{x_0}{y_0}\right)$$
Für den vorliegenden Fall ist \((x_0;y_0)=(4;2)\) und \(f(x;y)=\ln(2x-5y+3)\), sodass$$f(4;2)=\ln(8-10+3)=\ln(1)=0$$$$\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{\frac{2}{2x-5y+3}}{\frac{-5}{2x-5y+3}}\implies\operatorname{grad}f(4;2)=\binom{2}{-5}$$
Wir setzen diese Werte in die Gleichung für die Tangentialebene ein:$$z(x;y)=0+\binom{2}{-5}\cdot\left(\binom{x}{y}-\binom{4}{2}\right)=\binom{2}{-5}\binom{x-4}{y-2}=2(x-4)-5(y-2)$$$$\pink{z(x;y)=2x-5y+2}$$
Für den Punkt \(Q(4,05;2)\) lauten Funktionswert und Näherungswert:$$f(4,05;2)\approx0,0953102\quad;\quad z(4,05;2)=0,1$$
Die Funktion verläuft im Punkt \(Q\) also etwas unterhalb der Tangentialebene.
