Umformen der Formel (Vollständige Induktion)

Question

Aufgabe: Hallo, das Umformen ist bei mir schon etwas länger her. Die letzten 4 Schritte verstehe ich leider nicht. Wer kann mir erklären wie ich zum Schluss komme? Wie funktioniert ein umformen wenn eine unbekannte (n) als hochzahl steht?

Danke und LG

Text erkannt:

\( \frac{\frac{\text { luduletionganfang, }}{} n=0:}{\sum \limits_{k=0}^{0}(k+1) 4^{k}=(0+1) 4^{0}=1=\frac{1+(3 \cdot 0+2) 4^{0+1}}{9}} \)
lutuletionsschvitf, \( u \mapsto u+1 \) :
\( \sum \limits_{k=0}^{n+1}(k+1) 4^{k}=\sum \limits_{k=0}^{n}(k+1) 4^{k}+((n+1)+1) 4^{n+1} \)
\( \begin{array}{l} \text { (1V) }=\frac{1+(3 u+2) 4^{u+1}}{9}+(u+2) 4^{u+1} \\ =\frac{1+(3 u+2) 4^{n+1}+9(u+2) 4^{u+1}}{9} \\ =\frac{1+(12 n+20) 4^{u+1}}{9} \\ =\frac{1+(3 u+5) 4^{u+2}}{9} \\ =\frac{1+(3(u+1)+2) 4^{(u+1)+1}}{7} \\ \end{array} \)

Problem/Ansatz:

Answer 1

3. Schritt: Auf den gemeinsamen Nenner gebracht.

4, Schritt 4ⁿ⁺¹ ausgeklammert.

5. Schritt: noch eine 4 ausgeklammert.

6. Schritt: 3n+5=3n+3+2=3(n+1)+2

Comments

Hallo, danke erstmal für deine Nachricht!

Wie funktioniert das Ausklammern bei Schritt 4 genau?

4^n+1 kommt ja 2x in der Gleichung vor.

Was passiert, dass am Ende 4^n+1 nur noch 1x da steht? Wo sind die anderen ^n+1?

LG

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Wie funktioniert das Ausklammern bei Schritt 4 genau?

nennt sich Distributivgesetz. \(a\cdot 4^{n+1} + b\cdot 4^{n+1} = (a+b)\cdot 4^{n+1}\).

Alles zusammen:$$\begin{aligned} \sum\limits_{k=0}^{n+1}(1+k)4^{k}&= \sum\limits_{k=0}^{n}(1+k)4^{k} + (n+2)4^{n+1} \\ &= \frac{1}{9}\left(1+(3n+2)4^{n+1}\right) + (n+2)4^{n+1} \\ &= \frac{1}{9}\left(1+(3n+2)4^{n+1} + 9(n+2)4^{n+1} \right) &&|\,a\cdot 4^{n+1} + b\cdot 4^{n+1}=(a+b)\cdot 4^{n+1}\\ &= \frac{1}{9}\left(1+((3n+2) + 9(n+2))4^{n+1} \right) &&|\, 9(n+2) = 9n+18\\ &= \frac{1}{9}\left(1+(3n+2 + 9n+18)4^{n+1} \right) \\ &= \frac{1}{9}\left(1+(12n+20)4^{n+1} \right) &&|\,12n+20 = 4\cdot(3n+5)\\ &= \frac{1}{9}\left(1+4(3n+5)4^{n+1} \right) &&|\, 4\cdot 4^{n+1} = 4^{n+2}\\ &= \frac{1}{9}\left(1+(3n+5)4^{n+2} \right) \\ &= \frac{1}{9}\left(1+(3n+3+2)4^{n+2} \right) \\ &= \frac{1}{9}\left(1+(3(n+1)+2)4^{n+2} \right) \\ &\text{q.e.d.} \end{aligned}$$

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Wow, danke für die hilfreiche Antwort. Ich habe es jetzt verstanden!

Danke und LG

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Könnten Sie mir die letzten 3 Zeilen noch etwas genauer erklären?
(3n + 3 + 2)  zu (3(n +1) + 2)

wieder schlägt das Distributivgesetz zu: $$3n+3 = 3\cdot n + 3\cdot 1 = 3\cdot(n+1)$$Die \(2\) dahinter bleibt einfach stehen.

3+2 ist 5 und 1+2 ist 3.

so ist das richtig gerechnet ;-)

Wie komme ich hier auf die 5?

Die \(5\) war schon da! In der drittletzten Zeile steht der Ausdruck$$(3n+5)\cdot 4^{n+2}$$Die \(5\) wird zu \(5=3+2\)  - also$$(3n+\underbrace{3+2}_{=5})\cdot 4^{n+2}$$und aus \(3n+3\) wird \(3(n+1)\) (s.o.).$$(\underbrace{3(n+1)}_{=3n+3}+2)\cdot 4^{n+2}$$

Ich kann mir die fehlende 2 nicht erklären.

Wo fehlt Dir die \(2\)?

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Ja, ich habe einen Fehler gemacht und es dann verstanden. Danke!