Vollständige Induktion 9^n + 3 durch 4 Teilbar?

Question

Aufgabe:

Vollständige Induktion 9^n + 3 durch 4 Teilbar?

Problem/Ansatz:

Es handelt sich bei der Aufgabe um eine vollständige Induktion und um zu überprüfen, ob das Ergebnis immer durch 4 geteilt werden kann 9^n + 3. Voraussetzung n ist größer gleich +1 und wird befinden uns in dem Zahlenraum der natürlichen Zahlen.

Für n = 1 ergibt sich 12 mod 4 = 0 und daher durch 4 teilbar.

Für den Induktionsschritt wird das n für k + 1 ausgetauscht und es muss gezeigt werden, dass 9^(k+1) +3 = 4x

Die Lösung plus kurze Erläuterung ist vorhanden, und die Rechenschritte sind bis auf den letzten Punkt einleuchtend (Bild).

weshalb kann auf der rechten Seite 4(9x - 6) durch eine neue Variable "y" substituiert werden? Welche mathematischen Regeln sollte ich beherrschen, um den Schritt nachvollziehen zu können?

Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar.

Text erkannt:

\( \begin{aligned} 9^{k+1}+3 &=9^{k} \cdot 9+3 \\ &=9 \cdot 9^{k}+3 \\ &=9 \cdot(4 x-3)+3 \\ &=36 x-27+3 \\ &=36 x-24 \\ &=4(9 x-6) \\ 9^{k+1}+3 &=4 y \end{aligned} \)

Text erkannt:

Where \( y=9 x-6 \) and \( y \) is an integer because \( x \) is some integer
This means \( 9^{k+1}+3 \) is divisible by 4

Answer 1

Da wird nichts substituiert. Es wird einfach nur

festgestellt, dass 9x-6 eine ganze Zahl ist, und die wird hier

y genannt.

Answer 2

Hallo,

weshalb kann auf der rechten Seite 4(9x - 6) durch eine neue Variable "y" substituiert werden? Welche mathematischen Regeln sollte ich beherrschen, um den Schritt nachvollziehen zu können?

im Grunde gar keine! Wenn dort steht$$4\cdot (9x-6)$$dann ist dieser Term natürlich durch \(4\) teilbar, wenn der Ausdruck '\(9x-6\)' eine ganze Zahl ist. Letzteres ist erfüllt, wenn \(x \in \mathbb Z\). Was wiederum lt. Voraussetzung von weiter oben ok ist.

Ob man dann aus dem '\(9x-6\)' noch ein \(y\) oder ein Rumpelstilzchen macht, ist völlig egal.

Einfacher fände ich die Umwandlung$$\begin{aligned}9^{k+1}+3&=9^k \cdot 9 + 3 \\ &= 9^k(8+1) + 3\\ &= 9^k \cdot 8 + (9^k+3)\end{aligned}$$und wenn \(9^k+3\) durch \(4\) teilbar ist, dann ist es \(9^k+3+ 9^k\cdot 8\) auch.

Gruß Werner