Vollständige Induktion Teilbarkeit. Zeige: 4^n +15n -1 ist durch 3 teilbar

Question

folgende Aufgabe kann ich nicht lösen:

4^n +15n -1 ist durch 3 teilbar

Wie löse ich diese Aufgabe?

Answer 1

Induktionsanfang: Für n=0 haben wir $$4^0 +15\cdot 0 -1 =1 +0 -1 =0$$ 0 ist durch 3 ohne Rest teilbar (da 0 = 3*0). Für n=0 gilt also die Aussage.

Induktionsbehauptung: Wir behaupten dass die Aussage für n=k gilt, also dass 4^k +15k -1 durch 3 teilbar ist.

Induktionsschritt: Wir zeigen dass die Aussage auch für k+1 gilt. Wir haben dass $$4^{k+1} +15(k+1) -1\\ =4\cdot 4^k +15k+15 -1\\ =3\cdot 4^k +4^k+15k+15 -1 \\ =\left(4^k+15k -1\right)+\left(3\cdot 4^k +15\right) \\ =\left(4^k+15k -1\right)+3\cdot \left( 4^k +5\right) $$ Der Ausdruck ist also durch 3 teilbar, da der erste Summand durch 3 teilbar ist nach der Induktionsbehauptung und der zweite Summand ein ganzzahliges Vielfaches von 3 ist. Also gilt die Aussage auch für k+1.

Comments

wieso haben wir die Induktionsbehauptung umgeschrieben und -15k +1 genommen? Geht es auch nicht ohne das Einsetzen? Was ich gelernt habe ist, dass ich in der Lösung die Behauptung nochmal stehen haben plus einem anderen Wert der Element der natürlichen Zahlen ist und ebenso durch 3 teilbar ist. Und wieso ist der Ausdruck eigentlich 0 3*m?

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Habe meine Antwort bearbeiten! 

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ich verstehe nur den letzten Schritt nicht. Warum zieht man die 3 vor die Klammer um mit dem ganzen Ausdruck zu multiplizieren? Ich dachte es gilt Punkt vor Strich

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achso ich habe die 5 übersehen. Ich danke dir. Ich habe es nun verstanden :)

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Wir klammern die 3 aus, sodass wir zeigen dass der zweite Summand ganzzahliges Vielfaches von 3 ist. 

Der zweite Summand ist der folgende: $$3\cdot 4^k+15 = 3\cdot 4^k+3\cdot 5=3\cdot \left(4^k+ 5\right)$$ 

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Super! Ich freue mich dass ich dir helfen konnte! 

Answer 2

Man kann sogar zeigen, dass der Ausdruck durch 9 teilbar ist.

Zu zeigen

4^n + 15·n - 1 ist durch 9 teilbar.

Induktionsanfang n = 1

4^1 + 15·1 - 1 ist durch 9 teilbar.
4 + 15 - 1 ist durch 9 teilbar.
18 ist durch 9 teilbar.
stimmt.

Induktionsschritt n --> n + 1

4^n + 15·n - 1 = 9·m --> 4^n = 9·m - 15·n + 1

4^{n + 1} + 15·(n + 1) - 1 ist durch 9 teilbar.
4·4^n + 15·n + 15 - 1 ist durch 9 teilbar.
4·(9·m - 15·n + 1) + 15·n + 15 - 1 ist durch 9 teilbar.
4·(9·m - 15·n + 1) + 15·n + 15 - 1 ist durch 9 teilbar.
36·m - 60·n + 4 + 15·n + 15 - 1 ist durch 9 teilbar.
36·m - 45·n + 18 ist durch 9 teilbar.
9·(4·m - 5·n + 2) ist durch 9 teilbar.