Vollständige Induktion für Teilbarkeit durch 9

Question

Aufgabe:

wie zeige ich mit induktion, dass gilt 9 teilt 10^x+3*4^(x+2)+5

Problem/Ansatz:

Den Anfang und die Voraussetzung habe ich, jedoch scheiter ich wieder einmal beim schritt

Answer 1

Hallo

10^x+5 lässt den Rest 6  ebenso 10^x+1, 3*4^x+2 lässt den Rest 3 dann lässt 3*4^x+2*4 den Rest 4*3=12 also wieder Rest 3 (oder insgesamt Rest 18)

muss das mit Induktion?

Gruß lul

Comments

ja wir müssen mit induktion laut angabe

Answer 2

Wenn es mit vollständiger Induktion sein muss, dann kannst Du natürlich einfach die Überlegung von lul als Induktionsschluss "verkaufen"

Wenn es mehr nach einem Induktionsschluss aussehen soll, dann vielleicht so: Induktionsannahme: Für ien \(x \in \N\) existiert ein \(m \in \N\) mit

$$10^x+3 \cdot 4^{x+2}+5=9m$$

Der Induktionsschluss kann jetzt einfach rechnerisch durchgeführt werden:

$$10^{x+1}+3 \cdot 4^{x+3}+5=10(9m-3 \cdot 4^{x+2}-5)+3 \cdot 4^{x+3}+5\\\quad=90m+(12-30)4^{x+2}+5-50=9(10m-2\cdot 4^{x+2}-5)$$

Comments

oh danke, jedes mal scheiter ich, gibts da einen trick wie man so etwas sieht?

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gibts da einen trick wie man so etwas sieht?

bei den induktiven Beweisen ist der 'Trick' nie das Ziel aus den Augen zu verlieren. Es gilt immer, den Term \(a_n\) im Term \(a_{n+1}\) wieder zu finden. Zum Beispiel, wenn Du es so machst:$$\begin{aligned} 10^{x+1}+3\cdot 4^{x+3}+5 &= 10 \cdot 10^{x} + 12 \cdot 4^{x+2}+5 &&(1)\\ &= (9+1) \cdot 10^{x} + (9+3) \cdot 4^{x+2}+5 &&(2)\\ &= 9(10^{x} +  4^{x+2}) + 10^{x}+3\cdot 4^{x+2}+5 &&(3) \end{aligned}$$In der ersten Zeile habe ich die Exponenten des 'alten' Ausdrucks wieder hergestellt. In der zweiten Zeile habe ich die Koeffizieneten, die davor stehen wieder hergestellt und das was übrig bleibt ist durch 9 teilbar ... voila!