Vollständige Induktion, Beweis von 5^n - 1 ist durch 4 teilbar

Question

Die Aufgabe ist etwas anders. Hier gibt es kein Summenzeichen....und hier steht nicht etwas auf der linken und rechten Seite...Komme damit nicht klar.

Beweisen sie mit vollständiger Induktion:
\( 5^{n}-1 \) ist durch 4 teilbar für \( n \in \mathrm{N} \) 

Answer 1

der Induktionsanfang ist klar.

Induktionsvoraussetzung:

5^n-1 ist durch 4 teilbar

Induktionsschritt:

5^{n+1}-1=5*5^n-1=4*5^n +5^n-1

beide Summanden 4*5^n und 5^n-1 sind durch 4 teilbar, somit ist 5^{n+1}-1 durch 4 teilbar.

Comments

Induktionsschritt:

5ⁿ⁺¹-1=5*5ⁿ-1=4*5ⁿ +5ⁿ-1

Wie kommt man auf das markierte?

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Wie man darauf kommt? Das ist schwierig zu sagen . Man möchte ja irgendwie

die Induktionsvoraussetzung einsetzen, daher muss man den Term irgendwie in die Richtung a+5^n -1 umformen, und dann hoffen, dass a auch durch 4 teilbar ist . Dazu gehört Übung, dann erkennt man die Schritte ganz schnell. Bei solchen Induktions-Teileraufgaben  sind Umformungen dieser Art üblich.

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Leider ist das noch nicht ganz klar.

Vielleicht kannst du noch was dazu sagen.

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5*5ⁿ ≙ 5 Säcke Kartoffeln
4*5ⁿ ≙ 4 Säcke Kartoffeln
1*5ⁿ ≙ 1 Sack Kartoffeln

5 Säcke Kartoffeln = 4 Säcke Kartoffeln + 1 Sack Kartoffeln bzw. 5*5ⁿ = 4*5ⁿ + 1*5ⁿ

Die umgekehrte Richtung mit Ausklammern begründen:
Wir haben den Term 4*5ⁿ + 1*5ⁿ - 1 und klammern 5ⁿ aus:  4*5ⁿ + 1*5ⁿ - 1 = (4+1)5ⁿ - 1 = 5*5ⁿ - 1

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Es ginge auch so:

$$5^{n+1}-1 = 5 \cdot 5^n -5 +4 = 5 \cdot \left( 5^n-1 \right) + 4. $$

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Ich habe noch eine Frage...

beide Summanden 4*5ⁿ und 5ⁿ-1 sind durch 4 teilbar, somit ist 5ⁿ⁺¹-1 durch 4 teilbar.

Woher weiß man, dass beide Summanden durch 4 teilbar sind?

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4 * 5ⁿ  ist doch offensichtlich durch 4 teilbar (?)

5ⁿ - 1   ist nach Induktionsvoraussetzung durch 4 teilbar