Jede Gruppe der Ordnung 585 ist auflösbar

Question

Aufgabe: Zeigen Sie jede Gruppe der Ordnung 585 ist auflösbar

Ich denke, dass es was mit den Normalteilern zu tun hat, aber verstehe leider nicht wie.

Muss ich die Ordnung in Primfaktoren zerlegen?

Answer 1

Hallo,

tatsächlich ist es bei gegebener Ordnung oft hilfreich sich die Primzahlzerlegung aufzuschreiben und mal zu schauen was die Sylow-Sätze liefern.

Hier ist also \(585=3^2\cdot 5\cdot 13\). Nach Sylow können wir also eine Untergruppe \(U_9\) der Ordnung 9, eine Untergruppe \(U_5\) der Ordnung 5 und eine Untergruppe \(U_{13}\) der Ordnung 13 wählen.

Es gilt dann \(U_5\vartriangleleft G\) und \(U_{13}\vartriangleleft G\) (das kann man auch mit den Sylow-Sätzen beweisen). Also ist auch \(U_5U_{13}\vartriangleleft G\).

Damit ist es leicht zu zeigen, dass \(G\) auflösbar ist, z.B. mit der Reihe$$\{1\}\leq U_5\leq U_5U_{13}\leq (U_5U_{13})U_9=G$$

(Was sind die Faktoren, warum sind sie abelsch?)