Volumen und Inhaltsberechnung eines Fasses

Question

Aufgabe:

Abb. A. 1 zeigt den Querschnitt durch ein Weinfass (Einheiten in Meter).

6b) Berechnen Sie das Volumen des Fasses mit der Keplerschen Fassregel.

c) Die obere und die untere Randkurve des Fasses werden jeweils durch eine quadratische Funktion beschrieben. Berechnen Sie die beiden Funktions gleichungen.

d) Berechnen Sie den Inhalt des Weinfasses als Rotationsköper Mithilfe der Integralrechnung und Vergleichen Sie den so erhaltenen Wert mit dem der Kepplerschen Fassregel.

Text erkannt:

Abb. A.1: Weinfass im Schnitt

Problem/Ansatz:

Kann mir einer erklären wie ich das richtig löse ? Schreibe nach den Ferien ne Arbeit komme aber mit solchen Aufgaben nicht klar.

Answer 1

6b) Formel aus deinen Unterlagen raussuchen. Zahlen einsetzen.

c)

1. Drei Punkte der Parabel ablesen
   
2. In die allgemeine Gleichung

           \(f(x) = ax^2 + bx + c\)
   

   einsetzen.
3. Gleichungssystem lösen.
   
4. Lösung in die allgemeine Gleichung einsetzen.
   

Die Gleichung der zweiten Parabel bekommst du indem du die erste Parabel an der \(x\)-Achse spiegelst.

d) Inhalt des Weinfasses ist \(\pi\cdot \int_{-2}^2(f(x))^2\,\mathrm{d}x\cdot (2 - (-2))\)

Answer 2

Lies dir einfach mal die Fassregel bei Wikipedia durch und wende die Formel dabei an.

https://de.wikipedia.org/wiki/Simpsonregel#Geschichte

Ich nehme an du kannst eine Kreisfläche über A = pi * r² berechnen.

[spoiler]

Berechnung mit der Keppler'schen Fassregel

V = h/6 * (q(0) + 4 * q(h/2) + q(h))

V = 4/6 * (pi * 1.5^2 + 4 * pi * 2^2 + pi * 1.5^2)

V = 41/3 * pi = 42.94 m^3

Berechnung mit einem Rotationsintegral

V = ∫ (-2 bis 2) (pi·(2 - 0.5/2^2·x^2)^2) dx = 203/15 * pi = 42.52 m^3

[/spoiler]

Answer 3

Rotation um die y-Achse:

https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/rotationsvolumen-volumen-rotationskoerper.html

f(x) = ax^2+bx+c

f(0)= 2

f(-2) =1,5

f(2) = 1,5

oder mit dem Scheitel S(0/2)

f(x)= a(x-0)^2+2 = ax^2+2

f(2)= 1,5

4a+2= 1,5

a= -0,5/4 = -0,125

f(x)= -0,125x^2+2

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