Hallo!
Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Ich habe zwar einige Ansätze formulieren können, aber ich bin mir nicht sicher, ob die so korrekt sind. Könnte mir jemand eine Rückmeldung geben und mit mir die Aufgaben vervollständigen?
Ich wollte diese Aufgabe auf physik lounge (nanolounge) posten, aber hier muss man eigentlich nur rechnen, weshalb ich sie hier auf mathelounge poste. Daher würde ich mich freuen, wenn einige Physiker/Mathematiker, die sich mit Mathe/Physik auskennen, mir eine Rückmeldung geben könnten.
Aufgabe:
\( \mathrm{d} B=L \mathrm{~d} x-M \mathrm{~d} y+N \mathrm{~d} z \) sei ein totales Differential, d.h. es existiert eine Stammfunktion \( \mathrm{B}=\mathrm{B}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) \)
a) Welche Zusammenhänge bestehen zwischen \( \mathrm{L}, \mathrm{M} \mathrm{N} \) und den partiellen Ableitungen von \( \mathrm{B}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) \) ?
b) Welche Zusammenhänge (Maxwell-Relationen) bestehen zwischen den Ableitungen von L, N, M?
c) Berechnen Sie durch Legendre-Transformation des angegebenen B die Funktion C mit den natürlichen Variablen \( \mathrm{C}=\mathrm{C}(\mathrm{L}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) \) und ihr Differential \( \mathrm{dC} \)
d) Welche Maxwell-Relationen zwischen den Ableitungen von \( \mathrm{x} \) und \( \mathrm{N} \) folgen aus dem unter \( \mathrm{c} \) ) berechneten Differential dC?
e) Berechnen Sie durch Legendre-Transformation des angegebenen B die Funktion D mit den natürlichen Variablen \( \mathrm{D}=\mathrm{D}(\mathrm{L}, \mathrm{M}, \mathrm{z}) \) und ihr Differential \( \mathrm{dD} \)
f) Welche Maxwell-Relationen zwischen den Ableitungen von \( x \) und \( y \) folgen aus dem unter e) berechneten Differential \( \mathrm{dD} \) ?
Problem/Ansatz:
\( \begin{aligned} \text { 2)a) } L & =\left(\frac{\partial B}{\partial x}\right)_{y_{1} z} \\ H & =\left(\frac{\partial B}{\partial y}\right)_{x_{1} z} \\ N & =\left(\frac{\partial B}{\partial z}\right)_{x_{1} y} \\ \frac{\partial L}{\partial B} & =\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial B}{\partial x}\right)\right)=\left(\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial B}{\partial y}\right)\right)=\frac{\partial M}{\partial x} \\ \frac{\partial H}{\partial B} & =\left(\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial B}{\partial y}\right)\right)=\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial B}{\partial x}\right)\right)-\frac{\partial L}{\partial y} \\ \frac{\partial N}{\partial B} & =\left(\frac{\partial B}{\partial z}\right) \end{aligned} \)
\( \begin{array}{l}\text { b) Maxwell-Relation. } \\ \left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)_{X, z}=-\left(\frac{\partial M}{\partial x}\right)_{y_{1} z} \\ \left(\frac{\partial L}{\partial z}\right)_{x_{1} y}=\left(\frac{\partial N}{\partial X}\right)_{y, z} \\ \left(-\frac{\partial M}{\partial z}\right)_{x, y}=\left(\frac{\partial N}{\partial y}\right)_{x_{1} z}\end{array} \)
c)
\( \begin{array}{l} \text { Legendre }=z-\left(\frac{d z}{\partial x}\right) x \\ c(\alpha, y, z)=B-\left(\frac{\partial B}{\partial x}\right) x=B-\alpha x \\ d c=d(B-L x)=d B-d(R x)=d B-\alpha d x- \\ =\alpha d L-H d y+N d z-\alpha d x-x d z \\ =-H d y+N d z-x d \alpha-d C \end{array} \)
\( \begin{array}{l}-\left(\frac{\partial H}{\partial z}\right)_{\alpha, y}=\left(\frac{\partial N}{\partial y}\right)_{z_{1} \mathcal{L}}=\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_{z, \alpha} \\ -\left(\frac{\partial M}{\partial \alpha}\right)_{y_{1 z}}=\left(\frac{\partial N}{\partial \alpha}\right)_{y_{1}}=\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right)_{x_{1}} \mathcal{L}\end{array} \)
