Totales Differential einer bivariaten Funktion

Question

Aufgabe:

Gegeben → 12*x^0.69*y^0.21

Wie stark ändert sich die Funktion an der Stelle =(14,17), wenn das erste Argument um 0.4 steigt und das zweite Argument um 0.25 sinkt? Berechnen Sie die dadurch hervorgerufene Funktionsänderung mit Hilfe des totalen Differentials.

Problem/Ansatz:

lösen mit hilfe des totalen Differentials

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$f(x;y)=12x^{0,69}y^{0,21}\quad;\quad(x;y)=(14;17)\quad;\quad \Delta x=0,4\;;\;\Delta y=-0,25$$

Das totale Differential der Funktion \(f\) an der Stelle \((x;y)\) lautet:$$df(x;y)=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot dx+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot dy=12\cdot0,69x^{-0,31}y^{0,21}\,dx+12\cdot0,21x^{0,69}y^{-0,79}\,dy$$$$df(x;y)=8,28x^{-0,31}y^{0,21}\,dx+2,52x^{0,69}y^{-0,79}\,dy$$

Setzen wir die Werte aus der Aufgabenstellung ein, erhalten wir die Änderung:$$\Delta f=8,28\cdot14^{-0,31}\cdot 17^{0,21}\cdot0,4+2,52\cdot14^{0,69}\cdot17^{-0,79}\cdot(-0,25)=2,64963$$