Berechnen Sie mit Unterstützung der Substitutionsregel das bestimmte Integral.

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Aufgabe 7 (Integralrechnung, Substitution) Berechnen Sie mit Hilfe der Substitutionsregel das bestimmte Integral
\( \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{5}(x) \cdot \cos (x) d x \)

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Answer 1

Aloha :)

Hier taucht die Ableitung der inneren Funktion als Faktor auf:$$I=\int\sin^5x\cdot\cos x\,dx=\int(\,\underbrace{\sin x}_{\text{innere Funktion}}\,)^5\underbrace{\cos x}_{\text{Ableitung der inneren Funktion}}\,dx$$

Du brauchst also nur die Kettenregel für Ableitungen "rückwärts" anzuwenden:$$I=\frac16\sin^6x+C$$

Answer 2

Hallo

du siehst dass (sin(x))' =cos(x) was ist dann wohl eine geeignete Substitution? Du musst einen Blick für u' bzw du =u'dx entwickeln  sonst kommst du bei der Prüfung nicht weiter

lul