Aloha :)
Die Funktionen \(e^x\) und \(\ln(x)\) sind Umkehrfunktionen zueinander und heben daher ihre Wirkungen gegenseitig auf. Es ist also \(\ln(e^x)=x\) und wir können das Integral umschreiben:$$I=\int\limits_1^e\frac{\ln(x\cdot e^x)}{x}\,dx=\int\limits_1^e\frac{\ln(x)+\overbrace{\ln(e^x)}^{=x}}{x}\,dx=\int\limits_1^e\left(\frac{\ln(x)}{x}+1\right)dx$$
Das Integral über den Bruch ist ein Standardintegral, das du natürlich auswendig kennst:$$\int f'(x)\cdot f(x)\,dx=\frac12\cdot f^2(x)+C$$
Das Integral ist also einfach:$$I=\left[\frac12\ln^2(x)+x\right]_1^e=\left(\frac12+e\right)-\left(0+1\right)=e-\frac12$$
