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Aufgabe:

Bei einem Freistoß, der ohne Effet getreten wird, soll der Weg des Fußballes durch eine ganzrationale Funktion n dritten Grades beschrieben werden. Dabei soll x die Entfernung des Balles in der Horizontalen vom Ausgangspunkt und h(x) die Höhe des Balles angeben. Die Flugkurve des Balles hat im Ausgangspunkt einen Tiefpunkt und nach 12 m eine maximale Höhe von 4 m

a) Ermitteln Sie einen Funktionsterm der Funktion h

b) Wie hoch darf eine aus Gegenspielern gebildete „Mauer" maximal sein, die in 9,15 m Entfernung vom Ausgangspunkt steht, damit der Ball gerade noch über die Mauer fliegt?

c) Der Ball senkt sich in einer Höhe von 2 m ins Tor. Bestimmen Sie, wie weit der Freistoß vom Tor entfernt war.

d) Geben Sie an, in welcher Entfernung der Ball am Boden aufgekommen wäre, wenn er nicht ins Tor gegangen wäre.


Problem/Ansatz:

Kann mir jemand dabei bitte helfen die Aufgaben zu lösen. Ich wäre Ihnen sehr dankbar

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Hallo,

eine Funktion 3. Grades und ihre 1. Ableitung können dargestellt werden durch

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)=3ax^2+2bx+c\)

Die Flugkurve des Balles hat im Ausgangspunkt einen Tiefpunkt und nach 12 m eine maximale Höhe von 4 m

Ausgangspunkt = Tiefpunkt bedeutet, wenn man den Ausgangspunkt bei x = 0 ansetzt: f'(0) = 0 ⇒ c = 0   und d = 0

Damit bleiben für die Funktion und die 1. Ableitung:

\(f(x)=ax^3+bx^2\\ f'(x)=3ax^2+2bx\)

Aus der maximalen Höhe im Punkt (12|4) kannst du die Gleichungen f(12) = 4 und f'(12) = 0 aufstellen.

Das Gleichungssystem daraus ergibt

\(1728a+144b=4\\432a+24b=0\)

Die Lösungen sind \(a=-\frac{1}{216}\) und \(b=\frac{1}{12}\) und somit lautet der Funktionsterm

\(f(x)=-\frac{1}{216}x^3+\frac{1}{12}x^2\)

Graphisch sieht das so aus:

blob.png

b) Wie hoch darf eine aus Gegenspielern gebildete „Mauer" maximal sein, die in 9,15 m Entfernung vom Ausgangspunkt steht, damit der Ball gerade noch über die Mauer fliegt?

Setze 9,15 für x ein.

blob.png

(Die Mauer würde ich gerne sehen).


c) Der Ball senkt sich in einer Höhe von 2 m ins Tor. Bestimmen Sie, wie weit der Freistoß vom Tor entfernt war.

Setze f(x) = 2 und löse nach x auf.

blob.png


d) Geben Sie an, in welcher Entfernung der Ball am Boden aufgekommen wäre, wenn er nicht ins Tor gegangen wäre.
Berechne die Nullstelle der Funktion.

blob.png

Gruß, Silvia
Avatar von 40 k
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"Bei einem Freistoß, der ohne Effet getreten wird, soll der Weg des Fußballes durch eine ganzrationale Funktion n dritten Grades beschrieben werden. Dabei soll x die Entfernung des Balles in der Horizontalen vom Ausgangspunkt und h(x) die Höhe des Balles angeben. Die Flugkurve des Balles hat im Ausgangspunkt einen Tiefpunkt und nach 12 m eine maximale Höhe von 4 m"

Ausgangspunkt einen Tiefpunkt:

\(h(x)=a*x^2*(x-N)\)

nach 12 m eine maximale Höhe von 4 m:

\(h(12)=a*12^2*(12-N)=144a*(12-N)\)

\(144a*(12-N)=4\)   → \(a=\frac{1}{36*(12-N)}\)

\(h(x)=\frac{1}{36*(12-N)}*(x^3-N*x^2)\)

\(h´(x)=\frac{1}{36*(12-N)}*(3x^2-2*N*x)\)

\(h´(12)=\frac{1}{36*(12-N)}*(3*144-24*N)=0\)  →\(N=18\)  →

\(a=\frac{1}{36*(-6)}=-\frac{1}{216}\)

\(h(x)=-\frac{1}{216}*x^2*(x-18)\)

Unbenannt.JPG

Avatar von 40 k
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\(\displaystyle h(x) = -\frac{1}{216} x^3 +  \frac{1}{12}x^2 \)


folgt aus dem Gleichungssystem

h(0) = 0
h(12) = 4
h'(0) = 0
h'(12) = 0

Avatar von 45 k

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