nte-Ableitung von sin^2(x)

Question

Aufgabe:

Was ist die nte-Ableitung von f(x)=sin^2(x)

Problem/Ansatz:

Ich habe mal die ersten drei Ableitungen gebildet und sehe einfach keinen Zusammenhang zum erraten einer nten - Ableitung, welche man dann Beweisen könnte.

Comments

Schau mal in Deine Trigonometrie-Formelsammlung um sin(x)^2 mit Hilfe von cos(2x) auszudrücken. Dann lassen sich die Ableitungen leichter bestimmen. Im übrigen wirst Du dann auch eine Regelmäßigkeit bei Deinen bisherigen Berechnungen finden ....

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion würde ich mir direkt umschreiben:$$f(x)=\sin^2(x)=\frac12-\frac12\cos(2x)$$

Dann ist klar, dass die innere Ableitung bei jedem Schritt den Faktor \(2\) beiträgt:$$f'(x)=\sin(2x)=2^{\pink0}\cdot\sin\left(2x+\pink0\cdot\frac\pi2\right)$$$$f''(x)=2\cos(2x)=2^{\pink1}\cdot\sin\left(2x+\pink1\cdot\frac\pi2\right)$$$$f'''(x)=-4\sin(2x)=2^{\pink2}\cdot\sin\left(2x+\pink2\cdot\frac\pi2\right)$$$$f''''(x)=-8\cos(2x)=2^\pink{3}\cdot\sin\left(2x+\pink3\cdot\frac\pi2\right)$$

Wegen der \(2\pi\)-Periode der Sinus-Funktion sollte nun klar sein, dass:$$f^{(n)}(x)=2^{n-1}\cdot\sin\left(2x+(n-1)\cdot\frac\pi2\right)\quad;\quad n\ge1$$

Answer 2

Es ist \(f'(x)=2\sin(x)\cos(x)=\sin(2x)\).

Ab dieser Erkenntnis ist der Rest sicher übersichtlich.