Paarweise verschiedene Primzahlen

Question

Aufgabe:

Zeige, dass es für jede rationale Zahl \( t \in \) \( \mathbb{Q} \) eine natürliche Zahl \( k \), paarweise verschiedene Primzahlen \( p_{1}, \ldots, p_{k} \) und Exponenten \( \nu_{1}, \ldots, \nu_{k} \in \mathbb{Z} \backslash\{0\} \) gibt so, dass

\(\displaystyle t=p_{1}^{\nu_{1}} \cdot p_{2}^{\nu_{1}} \cdots p_{k}^{\nu_{k}} \)

Zusatz: Zeige, dass die obige Darstellung bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig bestimmt ist.

Problem/Ansatz:

Kann bitte jemand bei der Aufgabe helfen?

Answer 1

Kennst die Primzahlzerlegung der ganzen Zahlen?
Die Behauptung ist übrigens nicht ganz korrekt.
Man muss \(t>0\) voraussetzen.

Sei \(t=r/s\) mit natürlichen Zahlen \(r,s\neq 0\).
Hierbei seien \(r\) und \(s\) teilerfremd.

Für natürliche Zahlen \(\neq 0\) gilt die eindeutige
Primzahlzerlegung. Zerlege demgemäß \(r\) und \(s\) ...